蒙提霍爾問題（英文：Monty Hall problem），稱為蒙特霍問題、山羊問題或三門問題，是一個源自博弈論數學遊戲問題，參賽者會看見三扇門，其中一扇門的裏面有一輛汽車，選中裏面是汽車那扇門，可以贏得該輛汽車，另外兩扇門裏面則都是一隻山羊。
參賽者選定了一扇門，主持人會開啟另一扇是山羊門；並問：「要不要換一扇門？」瑪麗蓮·沃斯·莎凡特見解，參賽者應該換，換門話，贏得汽車機率是2/3。
這問題叫做蒙提霍爾悖論：因為該問題答案雖邏輯上並無矛盾，但十分違覺。
蒙提霍爾問題得名於主持人蒙蒂·霍爾，他主持美國電視遊戲節目《Let’s Make a Deal（英語：Let’s Make a Deal）》時，會有這樣遊戲，他確實會開啟另一扇是山羊門，來吸引觀眾眼球；但他會允許參賽者換門。
蒙提霍爾問題首次出現，可能是1889年瑟夫·貝特朗（英語：Joseph Bertrand）所著Calcul des probabilités一書中。
第一種情況是唯一一種參賽者透過保持選擇而贏情況。
另一種形式是三囚問題（Three prisoners problem），原理是一模，1959年出現馬丁·加德納《數學遊戲》專欄中，其後改編成各種語言版本。
以下是蒙提霍爾問題一個敍述，來自Craig F. Whitaker於1990年寄《展示雜誌》（Parade Magazine）瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）專欄信件：
設你正在參加一個遊戲節目，你要求三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面是山羊。
你選擇了一道門，設是一號門，然後知道門後面有什麼主持人，開啟了另一扇後面有山羊門，設是三號門。
他然後問你：「你想選擇二號門嗎？」轉換你選擇你來説是一種優勢嗎？以上敍述是Steve Selvin於1975年2月寄American Statistician雜誌的敍述改編版本。
如上文所述，蒙提霍爾問題是遊戲節目環節一個引申；蒙提·霍爾節目中確會開啟一扇錯誤門，增加刺激感，但會容許玩者更改他們選擇。
如蒙提·霍爾寄Selvin信中寫：
Mueser和Granberg透過主持人行為身上加上限制條件，提出了這個問題一種不含糊陳述：
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特1980年代中期躋身《吉尼斯世界紀錄》中智商紀錄保持人而成名（結果185）。
當時她答覆《大觀雜誌》刊出後引起舉世關注。
她解答徹底違反直覺，並引起眾多數學家質疑。
但隨後闡釋讓質疑者顏面無光。
顯然，莎凡特答案是正確-參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持選擇時，贏得汽車機會會加倍。
有三種可能情況，全部有相等可能性（1/3）：
後兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。
第一種情況是唯一一種參賽者透過保持選擇而贏情況。
因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏，所以透過轉換選擇而贏概率是2/3。
如果沒有最初選擇，或者如果主持人打開一扇門（可能主持人會直接開到汽車門，導致遊戲結束），或者如果主持人會參賽者作出選擇某一門時會問是否轉換選擇話，問題會變得。
例如，如果主持人從兩隻山羊中剔除其中一隻，然後叫參賽者作出選擇話，選中機會會是1/2。
還可以逆向思維方式來理解這個選擇(主持人角度來思考)。
無論參賽者開始選擇如何，主持人問到是否換時選擇換。
如果參賽者選中山羊，換之後百分之百贏；如果參賽者選中汽車，換之後百分之百輸。
而選中山羊概率是2/3，選中汽車概率是1/3。
所以不管怎樣換，最初贏得汽車1/3機率來説，轉換選擇可以增加贏機會。
一些解法：（1）你最初選羊機率是2/3，而主持人選羊後，你轉換後選羊機率你最初選車機率，1/3。
（2）你最初選車機率是1/3，而主持人選羊後，你轉換後選車機率你最初選羊機率，2/3。
假設來賓選定是一號門話，有1/3機率得到汽車，2/3機率得到山羊。
延伸閱讀…
美國NBC電視台有個蒙提‧霍爾（Monty Hall）所主持節目叫做《一起做個買賣》（Let’s make a deal）。
節目中，主持人讓來賓上台猜獎，獎品是一輛汽車。
台上有三個門，汽車藏其中一個門後。
來賓選一個門，選好後，主持人開門。
於三個門中，只有一個門後面有汽車，其餘兩個門後面是山羊，所以主持人來賓沒有選到兩個門中，選一個有山羊門打開。
比方説，來賓選一號門，汽車一號門後，二號或三號門後；不管汽車幾號門，主持人總是可以二號門和三號門中選一個有山羊門打開。
打開後，主持人問來賓：「您要改變您選擇嗎？」來賓可以堅持選擇，可以改選另一個門。
剛才情形來説，來賓選了一號門，一號門打開；接著主持人打開了三號門（三號門後面是一隻山羊），此時，來賓有機會改選二號門，或是堅持選擇一號門。
假如你是那位來賓，請問你要換？還是不要換？換不換有什麼？ 因為有三個門，所以每一個門後有汽車機率1/3。
此情境中，主持人知道哪個門後面有汽車，我們下圖可知，二隻山羊和一輛汽車排法共有三種，即情節1、2、3三種情形，故每種情節發生機率1/3。
假設來賓選定是一號門話，有1/3機率得到汽車，2/3機率得到山羊。
延伸閱讀…
情節1發生時，知道內情主持人任意2、3號門擇一打開，所以情節1分為1a、1b情況；不論其打開哪一個門，門後是山羊，此時若來賓要求換門，則得到是山羊，因此情節1發生機率1/3。
但是情節2、3發生時，知道內情主持人選擇打開沒有汽車那一個門，後面是隻可愛山羊，此時若來賓要求換門，得到汽車，因此情節2、3發生機率 。
所以，如果主持人知道汽車哪一個門後，此時維持不換門可以得到汽車機率1/3，而換門可以得到汽車機率2/3。
換句話説，只要一開始選到獎品門，換門會中獎；相反地，一開始選到有獎品門，那麼換門銘謝惠顧了。
因此，換門才是抉擇。
其實，這機率論上汽車-山羊問題(Car-Goat Problem)，稱蒙提霍爾問題(Monty Hall problem)或三門問題，雖然這個問題答案邏輯上並自相矛盾，但十分違覺，因此稱蒙提霍爾悖論。
米奇：「設你參加一個遊戲節目，你有機會三扇門裡選一扇，其中一扇門後面有一輛新車，另外兩扇門後面各有一頭山羊？你要選擇哪一扇門？」米奇：「！這時節目主持人，順便一提，他知道門後秘密，他去打開另一扇門，比方説他開了三號門，後面是一頭山羊。
這時節目主持人説：「班，你想要堅持選擇一號門，還是換成二號門？」現在問題是–改變選擇(換另一扇門)是否你?」米奇：「記住！主持人知道那輛車哪裡，你怎麼知道他不是耍你？……」班： 「我並不介意，因為我答案是基於統計學，……，當一開始他讓我選一扇門時，我有 33.3% 機率是選對，但當他開其中一扇門時，然後讓我選時，此刻如果我選擇換一扇門，選對機率是 66.7%，……。
」換句話説，設你正在參加一個遊戲節目，你要求三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面是山羊。
你選擇了一道門，設是一號門，然後知道門後面有什麼主持人，開啟了另一扇後面有山羊門，設是三號門。
他然後問你：「你想選擇二號門嗎？」轉換你選擇你來説是一種優勢嗎？答案：換門贏得獎品機率$\frac{2}{3}$，不換門$\frac{1}{3}$，因此應該選擇換門！這個問題可以擴展成N門問題，主持人開了$N-2$道門後，分析換門不換門贏得汽車機率。
條件機率中，$P(A|B)$表示B發生條件下A發生機率，其值：我們可以畫出以下樹狀圖做分析：假設 $A$ 得獎情況，$A’$ 為不得獎情況，$B$ 換門情況，$B’$ 不換門情況如果要得獎會發生以下兩種狀況：貝式定律可以得到，換門機率！我們可以透過列表得到結論，下表中假設「選中」參與者第一次選中門，「開門」是主持人打開有山羊門，「換門」是剩下那個門這邊可能會有一個疑惑（如果沒有那不要理我XD）：我第一次選中有車門時什麼只有列一次，主持人不是可以選擇打開兩個有山羊門其中一個，應是兩種狀況？只有一種是因為後面有車門觀眾會選到一次，像山羊觀眾可以選兩次，並且主持人打開哪一道門沒有影響，視為同一種狀況！從上表可以看出，換門後贏機會是$\frac{2}{3}$，不換門是$\frac{1}{3}$。
有些人會問：我三道門選完後，主持人打開了一扇門。
這時候我請另外一個場外人現在局面：兩扇門關閉，一扇門打開是山羊，那這時候這個局外人選中機會$\frac{1}{2}$？這個推論其，一個局外人看到情況機率確實是$\frac{1}{2}$，但這樣思考前提是錯誤，因為這位局外人並沒有參與一開始三門選擇！條件機率有一個概念，一個事件機率會隨著情境不（提供訊息改變）而可能會有所改變，這一個例子1990 年 9 月 9 日，瑪麗蓮‧沃斯‧薩萬特 (Marilyn vos Savant) 《繽紛遊行》(Parade) 「請問瑪麗蓮」專欄中，回答讀者提出三門問題，沃斯‧薩萬特是金氏世界紀錄智商 228 人，她認為選擇換勝算。
了説服讀者，她請大家想像有 1,000,000 扇門，她説：你選擇 1 號門，而主持人知道門後有什麼，他避開有獎那扇門， 777,777 號門外，別的門打開了。
這時你會地換到另一扇門，是吧?」N道門中選擇其中一道門中獎機率$\frac{1}{N}$，中獎機率$\frac{N-1}{N}$，説有$\frac{N-1}{N}$機率汽車另外$N-1$道門中。
這時候主持人幫你一個，他打開了其中沒有汽車$N-2$道門，幫助你剔除了可能選中情況，代表$\frac{N-1}{N}$中獎機率集中剩下那一扇門中！因此可以得到結論：$N$門問題中，假設主持人總共會打開$N-2$道門，那換門中獎機率會是$\frac{N-1}{N}$，不換門中獎是$\frac{1}{N}$如果上面東西都無法説服你，那來寫一個程式模擬吧！寫程式要證明模擬是正確，因此會印出若干組結果看看是否合理！這個程式會數幫觀眾選一扇門（選），中獎門（是選），接著主持人打開門後會剩下觀眾選一個沒有被開門我們取$N=3$ 做例子（可以輸入），第一個3表示門數量，接下來100000表示模擬次數印出前五次模擬情況作觀察，這個程式印出未中獎時，換門中獎事件加一；反之，印出中獎時，不換門中獎事件加一，模擬結果符合預期！如果共有10道門，一樣符合預期，換門中獎機率落$\frac{9}{10}$左右