提起平行線，大家陌生——兩段平行延伸鐵軌、黑白相間斑馬線，這是生活中可以觀察到平行線，文學作品中我們會看到這樣描述：“兩個人像平行線，沒有交集”。
我們印象中，平行線具有相交性質。
但有人説：“平行線無窮遠點交於一點”。
要弄明白這個問題，我們需要瞭解平行線相交這個説法是怎麼來。
古希臘數學家，幾何學父歐幾裡得在研究幾何學時候，發現了有些幾何學知識屬於經由人類反復踐表明正確，需要知識推出。
於是歐幾裡得在《幾何原本》中出了五大公理，並以此基礎構建了幾何學體系。
這五大公理為：
公理5：平面內一條直線和另外兩條直線相交，若某一側兩個內角和於二直角和，這兩條直線延長後這一側相交。
然而，有一位來俄羅斯天才數學家，認為平行線是可以相交。
後來研究推導表明，第五公理與以下兩個説法價——一是，三角形內角和180度﹔二是，過直線外一點，有且僅有一條直線該直線相交。
而第二個説法中兩條相交直線稱作平行線。
這便是平行線相交這一説法產生原因。
因為第五公理與平行相關，該公理稱為平行公理。
從平面幾何第五公理提出以來，數學家們開始思考一個問題：這一公理能否公理替代？
實際上，幾何學定義，我們使用黎曼幾何研究問題時候，所有直線交於無窮，存在平行線概念了，因為數學定義上，稱為平行線，是同一平面內相交直線。
這個角度講，“平行線交於無窮”是一個數學上偽命題，但具有藝術價值。
平面幾我們實際生活中有著應用價值。
到機械製造，到地理信息測量，離不開平面幾何計算。
這是什麼我們到學習是平面幾何。
非歐幾空間、問題中具有應用價值。
上文中我們可以看到，非歐幾何主要用來研究雙曲空間、橢圓空間這兩種非平面空間中幾何學問題。
而非平面空間我們實際生活中是存在。
非平面空間出現，見有兩種情況：任何一個小學畢業人，應該基本幾何學原理。
兩條平行線之間，無法相交，這是人盡皆知事情。
然而，有一位來俄羅斯天才數學家，認為平行線是可以相交。
這其中原理，是什麼？歐幾裏得幾何學説裏，直線是一條兩個點之間連接線，這條線可以無限延長，作為平行線兩條直線，無法交匯一起。
這十分符合人類常識，歐幾裏得幾何學説，是人類數學史上千古不變金科玉律。
俄羅斯天才科學家羅巴切夫斯基認為，平行線是可以相交。
這非歐幾何，叫羅氏幾何。
歐幾裏得創立幾何學，雖然認為是幾何學基礎，但它第五條定理，困擾了後世科學家兩千多年。
這歐幾裏得平行公設。
這條公設認為，同一個平面內，三條直線相交，如果直線同一側雙內角和於180度嗎，那這兩條直線會延長後，另一側相交。
人類討論平行線理論討論了兩千多年，莫衷一是，羅巴切夫斯基否定歐幾裏得第五公設後，創立了非歐幾何，曲面幾何。
什麼叫「平行線」？我們認知裡面定義平行線同一平面內，兩條相交且重合直線平行線，但俄國天才數學教羅巴切夫斯基提出「平行線可以相交」，此「羅巴切夫斯基幾何」。
「羅巴切夫斯基幾何」與「歐式幾何」可謂是針尖麥芒，歐幾裏得説平行線相交，而羅巴切夫斯基説可以相交，歐幾裏得説三角形內角和於180度，但羅巴切夫斯基稱三角形內角和可以於180度，於是爭議由此而來。
我們大部分人知道歐幾裏得稱「幾何父」，而羅巴切夫斯基沒有這麼出名了。
羅巴切夫斯基是俄國數學天才，1826年以一篇論文《平行線理論和幾何學原理概論及證明》，該論文第一次明確挑戰了歐幾裏得，於裡面涉及到理論過於，許多人其產生疑問，懷疑他是不是「有病」，於此，羅巴切夫斯基倒是看得開，面別人嘲笑，他沒有一絲在意，接著他於1829年，發表一篇《幾何學原理》，裡面詳細提出了自己觀點，一劫論證，但結果人看好，表示這一篇「垃圾」而且值得科學院關注論文。
其這一事情，所有人願去相信羅巴切夫斯基，即便他説出了自己理由，但是歐幾裏得奉數學界神明，羅巴切夫斯基公然宣戰神明，宣戰他們信仰。
於是乎所有人其羣而攻，數學無任何瓜葛歌德，《浮士德》中於羅巴切夫斯基挑戰歐幾裏得進行諷刺。
其著作《幾何原本》闡明瞭我們處世界幾何原理，我們生活空間稱歐幾裏得空間，即歐式幾何空間。
延伸閱讀…
羅巴切夫斯基死後百年中，羅巴切夫斯基所提出「平行線可以相交」理論證實，後重視，而平行線可以相交由此成名，他稱為了「幾何學中哥白尼」。
羅巴切夫斯基稱平行線可以相交，是指是雙曲幾何，雙曲幾何公理和歐式幾何公理於點於，歐幾裏得「第五公社」平行公理，人們認定「過直線外一點有唯一一條直線和已知直線平行」，而雙曲平行是「過直線之外一點有兩條直線和已知直線平行」，有一種説法是「同一平面內任何兩條直線有公共點」。
於這3個理論，愛因斯坦有過研究，這一點可以他廣義論中看出，時間、空間、維度上面，什麼事情有可能存在發生，過現階段人類侷限三維之中，如果能夠突破三維，那麼有關三維世界中任何一切有可能推翻。
」你肯定會不假思索地告訴他：「180°！」假如那個人説不是180°，那麼你可能會認為他無知。
其實，「三角形內角和於180°」只是歐幾裏得幾何學中一個定理。
數學研究對象是「數」與「形」，形數學幾何學．它是觀為主導，培養人空間洞察力思維目的．數學發展歷史幾何學第一個最重要著作歐幾裏得(Euclid，約公元前330一275年)《幾何原本》．它世界各國翻譯成各種文字．它印刷量於「聖經」，所以三角形內角和180°，這是平面幾何結果，是《幾何原本》中第五公設推論；如果離開了平面幾何，比如一些曲面上，三角形內角和是可以於180°。
2000年前，一位名叫歐幾裏得希臘人五條證五個命題推導出整個幾何數學，後來歐式幾何，是，這些基本基石可以建造出現在是高不可攀大廈。
點上方好玩數學可加關注帶你走進一個數學世界羅巴切夫斯基（H.N.JioqaheBCKNN，1792年12月1日—1856年2月24日），是俄羅斯數學家，非歐幾何創立者之一。
人們於事物研究是勇往直前，專家們很多事物進行了探索，並且鑽研精神，才有了如今眾多發現，後世發展奠定了夯實基礎，所以我們如今能有這樣發展，要感謝付出專家們。
方法取消這個公設：如果能夠藉助其他五公公理和四個公設證明平行公設，那麼，這個公設沒有設立了。
1829年2月23日一個下午，俄羅斯喀山大學物理數學系學術會議上，羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovich Lobachevsky 1792-1856）有些而地宣讀著他關於幾何論文——《幾何學原理及平行線定理嚴格證明摘要》。
新理論需要時間考驗之前推送中，超模君介紹了數學天才阿貝爾。
儘管阿貝爾數學成就，生前沒有得到認可，他，去世時只有27歲。
其著作《幾何原本》闡明瞭我們處世界幾何原理，我們生活空間稱歐幾裏得空間，即歐式幾何空間。
延伸閱讀…
我們如今所處空間毫無疑問是歐幾裏得空間，這一點可以歐氏幾何中五條公理來證明：1、任意兩個點可以通過一條直線連接。
「我證明第五公理耗盡一生，我甘心……」他得知自己兒子研究第五公理證明時，他留下了這樣一句話。
「千萬不要研究這個問題，我試過了所有方法，失敗告終，深陷泥潭了！」兒子並沒有聽父親建議，決定偏向虎山行。
故事主人翁——尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基。
1總有一種想法根深蒂固紮根我們思維之中，但你可想過，其實有些公理定理，存在於我們現有世界，這其中有第五公設。
歐式空間(Euclidean space，歐幾裏德空間)中，同一平面上兩條平行線相交。
這是每個受過九年義務教育人知道常識。
然而，這識射影空間(projective space)中成立了，例如，你站鐵道上觀察鐵軌，舉目遠望，鐵軌離你視線，鐵軌會變得，會地平線處相交，相交於一個無窮遠處點(at a point at infinity)。
歐式空間(或笛卡爾空間，Cartesian space)地描述了我們2D/3D幾何圖形(或幾何結構)，但它們不足以應付射影空間 (實際上，歐式幾何是射影幾何一個子集)。
一個2D點笛卡爾座標可以表示為 (x, y)。
如果點移到無限遠處，怎麼表示呢？無限遠處點是 (\infty, \infty) ，這歐式空間中是沒有意義。
射影空間中，平行線應該無限遠處相交，但歐式空間中不是這樣。
數學家們發現了一個方法來解決這個問題。
齊次座標(Homogeneous coordinate，由August Ferdinand Möbius提出)使得能夠投影空間中進行圖形和幾何計算。
齊次座標是一種 N+1 個數表示 N 維座標方法。
表示2D齊次座標，我們地已有(笛卡爾座標)座標上添加一個變量 w 。
因此，一個笛卡爾座標 (X, Y) 齊次座標表示變成了 (x, y, w) 。
笛卡爾形式 X 和 Y 齊次座標 x, y 和w之間關係:舉例，一個笛卡座標 (1, 2) 齊次座標可以表示為 (1, 2, 1) 。
如果這個 (1, 2) 點移到處時，它變成了 (\infty, \infty) (笛卡爾座標表示)。
但齊次座標中它可以表示為 (1, 2, 0) ，因為 (1/0, 2/0) \approx(\infty, \infty) 。
注意使用齊次座標，我們可以不用” \infty “能表示。
正如之前提到那樣，齊次座標 (x, y, w) 轉化笛卡爾座標，我們 w x, y : \underbrace{(x, y, w)}_{齊次座標} \quad \Leftrightarrow \quad \underbrace{\left(\begin{matrix} \frac{x}{w}, \frac{y}{w} \end{matrix}\right)}_{笛卡爾座標} 齊次座標轉化笛卡爾座標過程，我們可以發現一個事實，看下面例子，箭頭左邊是齊次座標，右邊是對應笛卡爾座標:\begin{equation} \begin{array}{l} (1, 2, 3) \quad \Rightarrow& \quad \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\\ (2, 4, 6) \quad \Rightarrow& \quad \left(\frac{2}{6}, \frac{4}{6}\right) \quad = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\\ (4, 8, 12) \quad \Rightarrow& \quad \left(\frac{4}{12}, \frac{8}{12} \right) \quad= \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\\ \vdots \quad\quad\quad\quad \Rightarrow& \quad\quad\vdots\\ (1a, 2a, 3a) \quad \Rightarrow& \quad \left(\frac{1a}{3a}, \frac{2a}{3a} \right) \quad= \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\ \end{array} \end{equation}