【西北角法】Rita |西北角的風水講究 |optimisation |

Posted on by 風水 玄學
【西北角法】Rita |西北角的風水講究 |optimisation |

西北角法是一種廣泛應用於物流和軍事領域的優化策略，它通過首先集中力量解決位於地圖西北角的問題，然後逐步向東南推進，以實現全局最優解。這種方法的核心在於，通過選擇合適的起點，可以最大限度地減少移動距離，從而節省時間和資源。在本次研究中，我們將探討西北角法在應急物流中的應用，以及如何通過算法改進來提高其在複雜環境中的適應性。

<p><strong>西北角法</strong>，又稱為<em>西北</em>或<b>西北計算</b>，是一種源於中國數學的簡便運算法，主要用於乘法和除法。這種方法並不是嚴格的推理演繹，而是基於直觀和經驗的快速計算技巧。</p>

歷史

<p>西北角法據説源起於中國的古代，是中國數學家們在日常使用的計算方法之一。由於它不涉及複雜的公式和推理，而是基於直觀的圖形和位置關係，因此在沒有進位制的古代，這種方法可能是一種非常實用的計算工具。</p>

應用

乘法

<p>在乘法中，西北角法利用了兩數相乘時，高位數字與低位數字的對應關係。例如，計算<strong>23×17</strong>時，我們可以觀察到<strong>2×1=2</strong>，<strong>3×7=21</strong>，這兩位數字分別出現在兩被乘數的西北角和乘積的西北角。將這兩個數字相加得到<strong>2+2=4</strong>，這就是乘積的西北角數字。接下來，我們對應其他位數，繼續進行計算。</p>

除法

<p>在除法中，西北角法同樣基於對應的位數關係。例如，<strong>72÷18=4</strong>，這裡我們注意到<strong>7÷1=7</strong>，而<strong>2÷8=

運籌學的定義與應用

運籌學是門應用學科，它運用多種科學技術知識和數學方法，幫助決策者更有效地解決實際問題。莫斯和金博爾曾將其定義為為決策機構提供數量化決策方法的科學。前英國運籌學會會長託姆林森提出了六條原則，包括合夥、催化、互相滲透、獨立、寬容和平衡原則，以指導運籌學的有效應用。

運籌學的問題解決過程

  • 提出和形成問題： 這一步驟涉及確定問題目標，理解約束條件，識別可控變量，並蒐集相關資料。
  • 模型建立： 在充分理解問題後，運用適當的數學模型來描述問題。
  • 求解： 使用各種方法，包括數學方法和計算機輔助，求得最優或滿意解。
  • 解的檢驗： 檢查求解過程是否有誤，並確保解與現實問題相符合。
  • 解的實施： 將解應用於實際情況，同時考慮實施中可能出現的問題。
  • 評估： 評估解的實際效果，並根據需要進行調整或優化。

構造模型的方法

  1. 直覺法： 運用經驗和直覺來構造模型。
  2. 類比法： 利用與問題結構類同的其他問題的模型來類比。
  3. 數據分析法： 通過大量數據的統計分析來構造模型。
  4. 試驗分析法： 通過局部試驗數據加分析來構造模型。
  5. 想定法： 在缺乏數據或試驗條件下，根據知識、經驗和研究基礎進行合乎邏輯的設想。

運籌學的定義

運籌學是一門應用學科，它廣泛應用現有的科學技術知識和數學方法，解決實際中

線性規劃模型構造與算法

1. 線性規劃模型的概述

線性規劃問題的數學模型通常包含三個要素：決策變量、約束條件和目標函數。決策變量用來表示問題的方案，約束條件反映了問題的資源限制和要求，而目標函數則用來衡量方案的好壞。線性規劃的問題模型可以表示為包含線性等式或線性不等式的形式，並且目標函數通常為線性函數。

2. 構造線性規劃模型的步驟

  1. 確定決策變量：選擇能夠表示問題解的變量。
  2. 制定約束條件：根據問題的限制和要求，建立不等式或等式約束。
  3. 確定目標函數：選擇一個符合問題目標的函數作為目標函數，如最小化成本或最大化利潤。
  4. 轉化為標準型：如果問題不是標準型（目標函數求最小值，決策變量非負），則將其轉化為標準型。

3. 線性規劃模型的例子

例如，一個生產問題可能有多種產品線，每條產品線需要不同的資源，並且有銷售預期。我們可以設立決策變量來表示各類產品的生產量，約束條件來限制可用的資源和最小生產量，目標函數來表示總利潤或成本。

目標規劃的基礎

查恩斯和庫柏在1961年提出的目標規劃理論，通過引入偏差變量（ nonnegative slack）和後偏差變量（positive surplus），以及目標約束的概念，為解決目標規劃問題提供了一種框架。在這個框架中，目標期望值被放在約束條件中，而原有的約束條件則成為系統約束。目標約束相對於系統約束來説是“軟約束”，因為它不要求目標期望值必須完全達到，而是通過偏差變量和的取值來衡量實際達到目標的程度。

西北角法 Play

5. 應用與影響

線性規劃模型在許多行業中都有應用，如運輸、製造、電力分配、投資組合選擇等。它們幫助決策者有效地分配資源，最大限度地提高收益，並解決涉及多個變量和限制的複雜問題。

6. 模型的優化和完善

模型的優化是一個逐步的過程，需要

對偶單純形法

對偶單純形法是解決線性規劃問題（LP）的一種有效策略。這種方法的核心思想是通過對偶性將原問題轉化為對偶問題，然後在對偶問題的框架內應用單純形法來尋找原問題的最優解。在這部分內容中，我們將解釋對偶單純形法的原理及其應用。

原問題(P) 對偶問題(D)
目標函數：最小化Cx 目標函數：最大化yd
約束條件：Ax ≤ b 約束條件：Ay = c

首先，我們定義對偶問題。對於原問題(P)，其目標是最小化線性目標函數Cx，受Ax ≤ b的約束。對偶問題(D)的目標則是最大化線性目標函數yd，受Ay = c的約束。這裡，y是對偶問題的變量，而d是對偶目標函數。

西北角法

對偶問題的構造

  1. 在原問題(P)中，目標函數為求最小值，其約束條件為不等式或等式。
  2. 在對偶問題(D)中，目標函數為求最大值。
  3. 在原問題(P)中，每一個約束條件都對應着對偶問題(D)的一個變量。如果約束條件是不等式，則對應的對偶變量為y；如果約束條件是等式，則對應的對偶變量為z。
  4. 在原問題(P)中，每一個變量對應着對偶問題(D)的一個約束條件。如果原問題中變量x的取值受約束，則對應的對偶變量y或z的取值也

    目標規劃中的位勢法與偏差變量

    在運輸問題的解決過程中，有一種稱為“表上作業法”的方法，它利用閉迴路法來調整運輸量，從而找到一個較好的可行解。西北角法是在這個方法中，從運輸表的西北角開始，優先考慮編號小的發點和收點之間的運輸任務。當得到一個基本可行解和相應的基本變量組Q後，需要計算變量的檢驗數。這可以通過位勢法來進行，即引進新的變量來構造方程，這些方程可以用來求出位勢，進而計算檢驗數。

    目標規劃的基礎

    查恩斯和庫柏在1961年提出的目標規劃理論，通過引入偏差變量（ nonnegative slack）和後偏差變量（positive surplus），以及目標約束的概念，為解決目標規劃問題提供了一種框架。在這個框架中，目標期望值被放在約束條件中，而原有的約束條件則成為系統約束。目標約束相對於系統約束來説是“軟約束”，因為它不要求目標期望值必須完全達到，而是通過偏差變量和的取值來衡量實際達到目標的程度。

    目標規劃的目標

    對於目標函數f，可以根據決策者的期望，設定三種目標要求：

    • 要求恰好達到目標期望值，即。
    • 希望超過目標期望值，即偏差變量為最小，即。
    • 希望不超過目標期望值，即超過目標期望值的偏差變量為最小，即。

    為了區別於傳統線性規劃中的目標函數，這些函數被稱為目標規劃的達成函數。在多目標決策問題中，目標規劃通過引進“目標優先因子”和“相對權重係數”等概念，使得模型的描述和求解得以實現。這些係數是由決策者根據專家評審討論來決定的。此外，在分級目標中，不同等級的目標可以使用不同的度量單位，但同一等級的目標應該使用相同的度量單位，以便確定相對權重係數。

    心理學家 Adam Grant 曾提出了一種記

    目標規劃的建立

    建立目標規劃模型的基礎步驟

    對各個目標確定目標期望值
    對各個目標引進偏差變量，建立目標約束方程
    確定目標優先等級和相對權重係數，建立達成函數

    西北角法

    目標規劃中的達成函數

    目標規劃問題的特點 使用單純形法求解

    目標規劃問題的求解步驟

    建立初始單純形表
    檢查負數，確定換入變量
    按最小比值規則確定換出變量
    進行基變換運算
    當所有優先因子行都檢查完畢後，計算結束

  5. 設B為(LP)的一個基，為(AIP)的一個可行解。由，所以也是(LP)的一個可行解，因此，應滿足單純形表T(B)所表示的方程組：

    變量 方程

  6. 因為，所以由於，因而的每個分量均為整數，故將方程(6-1)減去不等式(6-2)，可得該條件(6-3)是(AIP)任何一個可行解必須滿足的條件，稱為柯莫利割。

    西北角法 Play

    延伸閲讀…

    【筆記】運籌（上）——Rita

    optimisation theory

    整數規劃的類型與解法

    在數學優化中，整數規劃是指包含整數變量的規劃問題。這些問題中，人們對整數規劃感興趣，除了有些問題的實際變量必須是整數這個原因外，還因為現實生活中有些問題的解必須滿足許多重要的特殊約束條件。整數規劃可以分為純整數規劃、混合整數規劃和0-1規劃幾種類型。

    • 純整數規劃（AIP）：所有變量都限制為整數。
    • 混合整數規劃（MIP）：只有一部分變量限制為整數。
    • 0-1規劃（BIP）：變量取值僅限於0或1。

    在解決整數規劃問題時，最直接的方法是將相應的線性規劃的最優解“化整”，即四捨五入為最近的整數。然而，這種方法並不是總有效，有時甚至得不到整數規劃的合理解。因此，有必要對整數規劃的解法進行專門研究。已有本德斯（Benders）分解算法等方法，對感興趣的讀者來説，可以參閲線性規劃有關著作。

    割平面法是由R.E.Gomory提出的一種方法，它實質上是用解線性規劃的方法來求解整數規劃問題。首先解其相應的線性規劃（LP），若得到非整數的最優解，則增加能割去非整數解的線性約束條件，使得可行域中被切割掉的部分只包含非整數解，不包含任何整數可行解。

    西北角法

    Gomory的割平面法

    在純整數規劃（AIP）中，記其可行域為\(\mathcal{P}\)，若是相應的線性規劃（LP），其可行域為\(\tilde{\mathcal{P}}\)。對\(LP\)求解。若得到非整數的最優解，則應用割平面法來找到整數的最優解。

    \(\mathcal{P}\) 純整數規劃的可行

    割平面法求解整數規劃

    1. 若(LP)的最優解是一個整數解（整數向量），那麼當然是(AIP)的最優解；若不是整數解，設法對原線性規劃(LP)增加一個線性約束條件（稱它為割平面），把包含在內的不含整數解的一部分集合從(LP)的可行域切割出去，再要求增加了這個約束條件後新的線性規劃的最優解，如果是整數解，則就是(AIP)的最優解，否則再次增加線性約束條件而重複上述過程。

    2. 割平面的關鍵在於如何尋找適當的切割約束條件，引進幾個記號：設為一個實數，則表示不超過的最大的整數；表示不小於的最小整數；（有）。

    3. 設B為(LP)的一個基，為(AIP)的一個可行解。由，所以也是(LP)的一個可行解，因此，應滿足單純形表T(B)所表示的方程組：

      變量 方程

    4. 因為，所以由於，因而的每個分量均為整數，故將方程(6-1)減去不等式(6-2)，可得該條件(6-3)是(AIP)任何一個可行解必須滿足的條件，稱為柯莫利割。

      延伸閲讀…

      西北角的風水講究

      運輸問題的表上作業法（一）：利用伏格爾 (Vogel) 法尋找初始基可行解

    5. 假設B是(LP)的最優基，是(LP)關於基B的基本最優解，不是整數解，這時，，，且至少有一個不是整數，即有。此時，對不等式(6-3)，取，其左端，而右端為，因此不等式(6-3)在線性規劃(LP)和混合整數規劃(MIP)的解決過程中，有很多方法可以應用來找到最優解。其中，單純形法、對偶單純形法和分支定界法是三種常見的方法。下面我將解釋這三種方法，並以一個簡單的例子來説明它們的應用。

      首先，考慮這個簡單的線性規劃問題：

      \[
      \begin{align*}
      \text{最大化} \quad & 2x_1 + 3x_2 \\
      \text{subject to} \quad & x_1 + x_2 \leq 500 \\
      & x_1, x_2 \geq 0
      \end{align*}
      \]

      這個問題有兩個變量$x_1$和$x_2$，目標是最大化它們的線性組合。我們有一個約束條件，即$x_1 + x_2$不得大於500，並且變量們不得小於0。

      ### 單純形法 (Simplex Method)

      單純形法是一種用來解線性規劃問題的算法。算法的步驟包括構造一個單純形表（Simplex tableau），找到一個基（Basis），然後迭代地轉移基以達到理想解。在我們的例子中，基變量可以是$x_1$，然後其它變量$x_2$作為非基本變量。通過單純形表中數值的迭代調整，我們可以找到問題的最優解。

      ### 對偶單純形法 (Dual Simplex Method)

      對偶單純形法是單純形法的對偶形式。這個方法通常用來解決對偶問題（dual problem），即線性規劃問題的目標函數和約束條件對換位置後的問題。在我們的例子中，對偶問題會變成：

      \[
      \begin{align*}
      \text{最大化} \quad & 500y_1 + y_2 \\
      \text{subject to} \quad & y_1 \geq 0, y_2 \geq 0
      \end{align*}
      \]

      目標是最小化$y_1$和$y_2$，並且它

      改寫後的內容

      在解決0-1揹包問題和其他相關問題時，分支定界法是一種常用的搜索策略。本文將介紹分支定界法的基礎概念和術語，並以運輸問題為例，説明如何應用這一方法。

      當考慮一個具有多個可行解的問題時，分支定界法通過將問題的解空間劃分成更小的子空間來尋找最優解。這種方法首先將原始問題分割為若干個子問題，然後對這些子問題使用更靈活的算法來解決。在搜索過程中，任何時候都會保持一個或更多的可行解。這些解以及它們的目標函數值形成了問題的“下界”，即目前已知的最小目標函數值。當新的可行解或更好地估計了問題的下界時，搜索過程會自動調整其方向。

      運輸問題是一個典型的應用分支定界法求解的問題。在運輸問題中，有m個起點和n個終點，每條連接起點和終點的路線代表了一種運輸方案。問題的目標是在滿足供應和需求約束的前提下，找到運輸成本最小的方案。為了應用分支定界法，運輸問題被建模為一個尋求最短路徑的問題。每條弧的權值表示運輸成本，運輸量則作為變量。

      起點-終點 運輸成本 運輸量
      (i, j) $c_{ij}$ $x_{ij}$

      在運輸問題中，分支定界法用來解決有多個可行解的問題，且目標是找到總運輸成本最低的方案。這需要確定每個起點到終點的運輸量，同時滿足供應量與需求量的平衡。如果問題的原始模型不平衡，則可能需要引入虛設起點

      運輸問題的解決方法與目標規劃

      貪心算法與運輸問題

      在運輸問題中，可以利用貪心算法來解決某些特定的結構問題。貪心算法通常能夠快速找到一個初始的解決方案，即基本解。這個基本解可以作為進一步優化的起點。在確定基本解後，可以使用特定的算法來搜索最優解。

      目標規劃的應用

      當我們的目標函數有多個時，傳統的線性規劃模型可能不足以解決問題。目標規劃是為了在多目標優化的情況下，找到一個折中的解。在目標規劃中，每個目標都被賦予一個相對重要的權重，通過這些權重來尋找一個滿足所有目標的解決方案。

      整數規劃的問題分類

      整數規劃根據變量的類型可以分為純整數規劃和混合整數規劃。純整數規劃是指所有變量都是整數型的問題；而混合整數規劃則是指既有連續變量又有整數變量的問題。

      整數規劃的實例應用

      整數規劃的應用可以分為直接應用和轉化應用。在直接應用中，變量本身就是整數型，且可能是二元的（即只取0或1）或一般離散型的。在轉化應用中，原始問題可能不包含整數型變量，但可以通過創建輔助整數型變量來轉化成可以處理的問題。

      求解整數規劃的方法

      求解整數規劃的方法包括窮舉法和分支定界法。窮舉法用於可行域有界且整數解個數有限的問題。分支定界法是通過將可行域不斷分割成子區域來逐步求解問題的方法。

      算法 應用情況
      貪心算法 找到一個初始的基本解
      目標規劃 在多目標優化中尋找折中解
      純整數規劃 所有變