在幾何學中，八邊形，又稱八角形，是一種擁有八條邊和八個頂點的多邊形。八邊形的內角和為1080度。
八邊形有多種形式，其中最對稱的是正八邊形。其他八邊形根據其類角的性質可分為凸八邊形和非凸八邊形。
凸八邊形的內角角度皆小於180度，而非凸八邊形則可進一步分為凹八邊形和星形八邊形。星形八邊形是邊自我相交的八邊形。
所有八邊形都可以利用頂點切割成六個三角形，每個三角形的內角和為180度，因此所有八邊形的內角和都是1080度。
此外，任何多邊形的外角和都等於360度，因為它們最終會連回起點。
八邊形的幾何性質
| 性質 | 描述 |
|---|---|
| 內角和 | 所有八邊形的內角和為1080度。 |
| 凸八邊形 | 所有內角角度皆小於180度的八邊形。 |
| 非凸八邊形 | 包含凹八邊形和星形八邊形，後者具有邊自我相交的特性。 |
| 邊中心四邊形 | 在任何八邊形上構造的邊長與原邊長相同，且位於八邊形內部的正方形，其對角線會垂直且等長。 |
| 中點八邊形 | 將八邊形每個邊中點與相鄰邊中點連線成的八邊形，稱為對偶八邊形，其上有構造的正方形，其重心連心線的中點所構成的四邊形是正方形。 |
| 正八邊形 | 所有邊等長、所有角等角的八邊形，是正多邊形的一種。 |
| 面積公式 | 正八邊形面積可以用邊長a、外接圓半徑R或內切圓半徑r來計算。 |
| 分割性質 | 正八邊形可以被分割成兩個梯形與一個矩形，這種圖稱為八邊形-四邊形圖。 |
正八邊形作為截角正方形
正八邊形可以視為截去所有頂點的正方形，即截角的正方形，因此在施萊夫利符號中也可以計為 t{4}。
另一方面，截角的八邊形為十六邊形，在施萊夫利符號計為 t{8}。正八邊形可以被分割成兩個梯形跟一個矩形，這種圖稱為八邊形-四邊形圖。
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八角形的美感與應用
八角形是一種具有獨特美感的幾何形狀。它擁有八個邊和八個角，給人一種堅固而有力的印象。它的對稱性和複雜性使它在設計和藝術領域中廣泛應用。
八角形在建築設計中常被用作裝飾元素。例如，古代中國的建築常常將八角形磚塊用於宮殿和寺廟的屋頂。這種設計給了建築獨特的視覺效果，同時也象徵著宮廷和宗教的神聖。同樣地，現代建築中也可以看到八角形的應用，它結合了傳統和現代的美學，創造出獨一無二的建築風格。
在藝術領域中，八角形被用來創作各種藝術品。畫家可以使用八角形作為畫面的基礎結構，將其他元素放置在八角形的各個角落，創造出獨特的藝術效果。此外，八角形還可以成為雕塑作品的形狀，藝術家通過雕塑的細膩觸感和對光線的巧妙運用，展現出八角形的美感。
八角形在幾何學中的特性
八角形在幾何學中有一些獨特的特性。首先，八角形是一種正多邊形，即它的八個邊長相等，八個內角也相等。這種對稱性使得八角形在幾何計算中非常方便。其次，八角形與圓形之間有一個特殊的關係，稱為「圓周角相等定理」。根據這個定理，八角形的內角和為360度，即八個內角的和等於一個圓的圓周角。
八角形還有一些有趣的性質。例如，如果將八角形的對腰線和對角線連接起來，就可以得到一個正方形。這個正方形的邊長是八角形的對腰線長的平方根。此外，八角形的對邊平行且相等，並且與八角形的對腰線垂直。這種特性使得八角形在幾何計算和設計中有廣泛的應用價值。
結論
八角形是一種具有獨特美感和豐富應用價值的幾何形狀。它在建築設計和藝術領域中被廣泛使用，為作品帶來獨特的視覺效果和美學體驗。在幾何學中，八角形具有一些特殊的性質，這些性質使得八角形在數學計算和設計中有重要的應用價值。無論是在設計還是在學術研究中，八角形都是一個充滿潛力和魅力的形狀。
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