【3 4 5三角形內角】3 4 5 三角形內角大公開！直角、特殊三角形角角度全解析

特殊直角三角形

直角三角形中有些具有獨特的特質，使計算更加便利或存在簡化公式。例如，部分三角形具有特殊的內角關係，如 45-45-90 度三角形。另有部分三角形具有特殊的邊長關係，如 3:4:5 或符合黃金比例。瞭解這些三角形的特定邊長或角度關係，有助於在幾何問題中運用適當的計算方法。

直角三角形的內角和為 90 度，且負角為其他兩角的和。特定直角三角形可能具有其他特殊的角關係。

邊長一般由單位圓或其他幾何方法推導，而角度為 30、45 或 60 度時的三角函數計算較為簡便。

45-45-90 度三角形、30-60-90 度三角形和正三角形是平面上的莫比斯三角形，其內角和整數乘積均為 180。

在平面上繪製正方形對角線會產生一個角度比例為 1:1:2 的三角形，內角和為 180 度。其邊長比例根據畢氏定理為 1:1:√2。

45-45-90 度三角形為等腰直角三角形，且邊長比為 1:1:√2。其斜邊的中線將其分割為兩個較小的 45-45-90 三角形。

30-60-90 度三角形為角度呈等差數列的獨有直角三角形。其邊長比為 1:√3:2。

具有角度比為 1:2:3 的三角形，其內角角度分別為 30、60 和 90 度，邊長比為 1:√3:2。

具有角度呈等比數列的直角三角形僅有一種，其角度為 π/(2φ²)、π/(2φ)、π/2，公比為黃金比例 φ。其內角比為 1:φ:φ²，邊長比根據正弦定律為 sin(π/(2φ²)):sin(π/(2φ)):1。

有趣的是，餘弦函數的指數表達式引發「黃金比例恆等式」，其中包含黃金比例 φ 及歐拉恆等式中的基本常數 π、e、i、1、0。

若三角形邊長為整數，其三邊稱為勾股數，且內角角度不會為整數。勾股數比例符合 m² – n²:2mn:m² + n²。

3:4:5 三角形為邊長呈等差數列的獨有直角三角形，在埃及被稱為「埃及三角形」。具有有理數邊長的三角形為海倫三角形，表示邊長和麪積均為有理數。

3 4 5 三角形內角

定義與定理

3 4 5 三角形，又稱為直角三角形，是由三條邊構成的三角形，其中兩條邊長為 3 和 4，第三條邊長為 5。3 4 5 三角形內角和為 180 度，這是三角形內角和的定理。

內角公式

3 4 5 三角形的三個內角如下：

這些內角可以使用以下公式計算：

∠A = 90 度 ∠B = arctan(3/4) ≈ 37 度 ∠C = 180 度 - (∠A + ∠B) = 53 度

特殊性質

3 4 5 三角形具有以下特殊性質：

勾股定理：邊長 3 和 4 的平方和等於邊長 5 的平方。
3² + 4² = 5²
半角公式：3 4 5 三角形內角的一半滿足以下公式：
tan(∠A/2) = 1/2 tan(∠B/2) = 1/3 tan(∠C/2) = 1/5
歐拉恆等式：3 4 5 三角形的內角正切值滿足歐拉恆等式：
tan(∠A) + tan(∠B) + tan(∠C) = tan(∠A) * tan(∠B) * tan(∠C)

表格總結

延伸閲讀…

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3 4 5 三角形的內角總結如下：