蒙提霍爾問題
前言
在《蒙提霍爾問題》中，參賽者面對三個門：一門藏著汽車、另兩門藏著山羊。參賽者選了一門後，主持人打開一門山羊門，詢問是否換另一扇門。
問題
更換選擇是否會增加獲車機率？
解答
換門機率為 2/3，維持不換為 1/3。
原理
假設汽車藏於 1 號門，參賽者選 2 號門，則換至 3 號門（或維持原選）的機率為：
- 換 3 號門：汽車在 3 號門的機率為 1/3（1 號門汽車、3 號門山羊）。
- 維持 2 號門：汽車在 1 號門的機率為 1/3（1 號門汽車、2 號門山羊），維持不換獲車機率也是 1/3。
- 初始選擇：汽車藏於 1 號門的機率為 1/3。
- 主持人打開門：汽車在 1 號門的機率不變（仍為 1/3），意味汽車藏於 3 號門的機率也為 1/3。
- 換至或維持原選：換至 3 號門的機率（1/3）等同於初始選中 1 號門（汽車）再選中 3 號門（汽車）的機率（1/3 * 1/3 = 1/9）。
- 維持原選：汽車藏於 1 號門的機率為 1/3，維持原選獲車的機率也是 1/3（1/3 * 1/1 = 1/3）。
因此，換至 3 號門獲車的機率為：
- 換 3 號門機率：汽車藏於 3 號門的機率（1/3）加上汽車藏於 1 號門、換至 3 號門的機率（1/9）= 2/3
換至 3 號門的機率（獲車機率）為 2/3，而保持原選的機率（獲車機率）則為 1/3。
變形式態
蒙提霍爾問題有以下變形式態：
- 貝特朗箱子問題：箱中一寶石，其他箱中石塊，移除一空箱後，換至其他箱子是否增加獲寶石機率？
- 三囚犯問題：三名囚犯被告知其中一人將獲特赦。其中一名囚犯知道特赦者是誰，問他：告知其他囚犯會否增加自己的特赦機率？
結論
在《蒙提霍爾問題》中，換門會增加獲車機率，且為優於維持原選的策略。
換門問題
換門問題（也稱蒙提霍爾問題）是一個著名的機率悖論，它表明在某種情況下，即使你知道新的資訊，改變你的決定也更有可能導致更理想的結果。
問題
一個遊戲節目主持人向你展示了三扇門，其中一扇門後有一輛車，而其他兩扇門後各有一隻山羊。主持人隨機打開一扇有山羊的門，然後問你是否要保留你原本的選擇，或換到另一扇未打開的門。
解決方案
乍一看之下，換門和不換門似乎有 50% 的機率。然而，根據機率理論，換門才是最佳策略。
可以使用貝氏定理來證明這個結論。一開始，三扇門各有 1/3 的機率藏有汽車。當主持人打開一扇有山羊的門時，汽車所在的門有 2/3 的機率沒有被打開。因此，換到另一扇未打開的門有 2/3 的機率可以讓你獲得汽車。
埃爾德什定理
一個更簡單的證明是埃爾德什定理，它指出：
如果在一個有限的集合中隨機選擇一個元素，然後再從剩餘的元素中移除一個元素，那麼剩餘元素中原本被選中的元素的機率會增加。
在換門問題中，選擇一扇門的機率為 1/3。當移除一扇門後，汽車所在的門的機率會增加到 2/3。
直覺錯誤
換門問題令人驚訝的原因在於它違反了我們的直覺。我們直覺上認為，換門和不換門的機率應該相同，因為剩餘的門數沒有改變。然而，機率理論表明，換門才是明智的選擇。
數位模擬
以下的表格顯示了透過數位模擬換門問題的結果：
延伸閲讀…
蒙提霍爾問題
三門問題（Monty Hall Problem）
| 選擇 | 換門 | 不換門 |
|---|---|---|
| 1,000,000次模擬 | 666,667次獲勝 (66.67%) | 333,333次獲勝 (33.33%) |
結論
換門問題是一個強有力的例子，説明瞭機率理論有時會違揹我們的直覺。在這種情況下，換門才是贏得遊戲的最佳策略，即使它似乎違背了我們的常理。