三角函數與三角形
三角函數是數學中的一個分支，主要探討三角形中邊長與角的關係。三角函數被定義為三角形邊長與角的比值，並且是一種週期函數，可描述週期性現象。
三角函數的類型
三角函數主要有：
- 正弦（sine，簡寫為 sin）
- 餘弦（cosine，簡寫為 cos）
- 正切（tangent，簡寫為 tan）
- 餘切（cotangent，簡寫為 cot）
三角函數的性質
- 斜邊（三角形中與直角對應的邊）永遠是邊長最長的一條。
- 三角形的內角和恆等於 180 度。
- 相似三角形的邊長比與角的度數無關。
- 三角函數的週期為 360 度或 2π 弧度。
- 三角函數可以通過幾何方法或使用單位圓來定義。
- 三角函數可以擴展到複數域。
三角函數的用途
三角函數在許多領域中都有應用，包括：
- 航海與天文
- 測量學和製圖學
- 物理學和工程學
- 數學和科學建模
三角函數的恆等式
三角函數滿足一些恆等式，這些恆等式適用於所有角的度數。這些恆等式包括：
- 畢氏定理：cos² θ + sin² θ = 1
- 互餘角公式：sin (π/2 – θ) = cos θ
- 半角公式：sin (θ/2) = ±√((1 – cos θ) / 2)
三角函數的計算
三角函數的值可以用數學用表、計算尺或科學計算器計算。
三角形中「斜邊分支對邊」的概念
「斜邊分支對邊」是三角形中一個重要的幾何關係，描述斜邊與對應兩側之間的長度比例。
斜邊分支對邊定理
在直角三角形中，「斜邊分支對邊」定理指出：斜邊的一條分支（與斜邊垂直的一條線段）會將斜邊分成與兩對邊成比例的兩部分。
換句話説，設直角三角形斜邊長為 $c$，對邊長為 $a$，鄰邊長為 $b$，那麼：
- 從對邊 $a$ 上的任一點引一條分支 $d$ 至斜邊，將斜邊分成 $p$ 和 $q$ 兩段，則有：
- $\frac{p}{q} = \frac{b}{a}$
證明
設 $x, y$ 分別為 $p, q$ 的投影長度，則根據相似三角形的性質有：
\frac{a}{x} = \frac{c}{p} \quad \Rightarrow \quad p = \frac{cx}{a}
\frac{a}{y} = \frac{c}{q} \quad \Rightarrow \quad q = \frac{cy}{a}
將 $p, q$ 的值代入 $\frac{p}{q} = \frac{b}{a}$ 可得：
\frac{\frac{cx}{a}}{\frac{cy}{a}} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{y} = \frac{b}{a}
這證明瞭「斜邊分支對邊」定理。
表格總結
下表總結了「斜邊分支對邊」定理中的關鍵公式：
| 關係 | 公式 |
|---|---|
| 斜邊比 | $ \frac{p}{q} = \frac{b}{a} $ |
| 投影比 | $ \frac{x}{y} = \frac{b}{a} $ |
| 對邊比 | $ \frac{a}{c} = \frac{y}{p} $ |
| 鄰邊比 | $ \frac{b}{c} = \frac{x}{q} $ |
注意：以上公式適用於任何從對邊引出的分支，不一定非得垂直於斜邊。
延伸閲讀…
[達人專欄] 一篇文弄懂三角函數！其實它真的不可怕 – 創作大廳
三角函數sin、cos、tan各等於什麼邊比什麼邊？
應用範例
「斜邊分支對邊」定理在各種實際問題中都有應用，例如：
- 求三角形邊長： 已知三角形中的一邊和斜邊長，可利用定理求出其他兩邊長。
- 計算面積或體積： 如果知道三角形與斜邊相關的量值，可使用定理來推導相關的三角形或立體的屬性。
- 證明幾何等式： 定理可作為幾何證明中的有力工具，幫助建立三角形中不同長度和角度之間的關係。