三元數（英語：Trionion[1]）是指建立實數域上三維代數系統。
部分文獻這樣問題定義了許多種模式來規避這個問題。
一般而言，會稱三元數存在[2]。
這是因為三元數乘法運算羣規則，[3]無法滿足可除代數要求[4]。
部分文獻這樣問題定義了許多種模式來規避這個問題。
部分文獻會三元數四元數探討，因為四元數是探尋三元數過程中發現。
[5][6][7]
雖然三維代數系統無法構建，而有研究指出六維代數系統有機會構建，即六元數（Sextonion）。
[8][9]
三元數哈密頓描述四元數時提及[10]。
而複數域乘法定義是，即任兩個複數相乘後結果複數，時複數能表達二維平面上點。
延伸閱讀…
[12]然而了反覆嘗試，後無法解決三元數乘法與除法上問題[13]，反而是導致了四元數發現。
[7]
複數2個單位元素組成，是1和.mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}i，其中i定義
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
，而復數集則定義
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
。
而複數域乘法定義是，即任兩個複數相乘後結果複數，時複數能表達二維平面上點。
延伸閱讀…
而此概念擴展到三維空間話，即加入一個單位元素j，並定義
j
2
=
−
1
{\displaystyle j^{2}=-1}
，同時
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
，而三元數集則定義
a
+
b
i
+
c
j
{\displaystyle a+bi+cj}
。
但定義這種數系乘法時會出現一個問題，當ij相乘時會出現
i
j
{\displaystyle ij}
或
j
i
{\displaystyle ji}
項，這是一個元素，並未落原有定義
a
+
b
i
+
c
j
{\displaystyle a+bi+cj}
中，而使得這樣定義方式使其羣規則。
[5]
一般而言，定義
a
+
b
i
+
c
j
{\displaystyle a+bi+cj}
且
i
≠
j
,
i
2
=
j
2
=
−
1
{\displaystyle i\neq j,i^{2}=j^{2}=-1}
三元數無法存在可以下過程證明：[2]
兩側j係數得到
−
1
=
c
2
{\displaystyle -1=c^{2}}
，與先前c實數假設矛盾，因此如此定義三元數無法存在，因為乘法上會遇到問題，是ij情況。
[2]