三角形，稱三邊形（英語： Triangle），是三條線段首尾，或不共線三點兩兩連接，組成一個閉合平面幾何圖形，是基本和形。
寫英語字母
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
和
C
{\displaystyle C}
為三角形頂點標號；寫英語字母
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
和
c
{\displaystyle c}
表示邊；
α
{\displaystyle \alpha }
、
β
{\displaystyle \beta }
和
γ
{\displaystyle \gamma }
角標號，或者
∠
A
B
C
{\displaystyle \angle ABC}
這樣頂點標號來表示。
角三角形是其中一角角三角形，其餘兩角於90°。
有一個角是直角（90°）三角形為直角三角形。
成直角兩條稱為“直角邊”（cathetus），直角所對是“斜邊”（hypotenuse）；或稱為“弦”，底部稱作“勾”（作“句”），另稱為“股”。
一個曲線圖放在兩條平行線中間，使這兩平行線，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它是這兩條平行線內，這兩條平行線。
三角形（稱正三角形），三相等三角形。
其三個內角相等，60°。
它是鋭角三角形一種。
設其是
a
{\displaystyle a}
，積公式為
a
2
3
4
{\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}
。
等腰三角形是三條邊中有兩條相等（或是其中兩隻內角相等）三角形。
等腰三角形中兩條相等稱為“腰”，而另一條稱為“底邊”，兩條腰交叉組成那個點稱為“頂點”，它們組成角被稱為“頂角”。
令其底邊是
b
{\displaystyle b}
，腰是
a
{\displaystyle a}
，積公式為
1
4
b
4
a
2
−
b
2
{\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}}
等腰三角形對應高，角平分線和中線重合。
退化三角形是指面積為零三角形。
滿足下列條件之一三角形稱為退化三角形：三個內角度數(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三其中一條長度0；一條長度於另外兩條和。
有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是於它介乎於三角不等式之間，一些資料中否定了其中一條於其餘兩條和情況。
勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），譯作萊洛三角形或弧三角形，稱為劃粉形或曲邊三角形，是圓形以外，易懂勒洛多邊形，一個定曲線。
一個曲線圖放在兩條平行線中間，使這兩平行線，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它是這兩條平行線內，這兩條平行線。
這個定義十九世紀德國工程師弗朗茨·勒洛（英語：Franz Reuleaux）命名。
勾股定理，稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。
言，若直角三角形其中
c
{\displaystyle c}
斜邊，即
c
{\displaystyle c}
對角
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
，則
勾股定理逆定理成立，即若三角形滿足
設
R
{\displaystyle R}
為三角形外接圓半徑，則
勾股定理是本定理情況，即角
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }\,}
時，
cos
α
=
0
{\displaystyle \cos \alpha =0}
，於是
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
化簡為
a
2
=
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}
。
三角形具有穩定性，若二個三角形有以下邊角關係定後，它形狀、大小會改變，二個三角形即為全等三角形。
三角形判斷有以下幾種：
SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形，除非該角於於90°，此時可以保證。
[2]:34[3]
三角形中有著一些線段，是三角形研究對象。
以上線段，每個三角形有三條，且三線共點。
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，若三
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
c
{\displaystyle c\,}
中線
m
a
{\displaystyle m_{a}}
、
m
b
{\displaystyle m_{b}}
、
m
c
{\displaystyle m_{c}}
，則：
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，連接三個頂點
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
、
C
{\displaystyle C}
上高分記作
h
a
{\displaystyle h_{a}}
、
h
b
{\displaystyle h_{b}}
、
h
c
{\displaystyle h_{c}}
，則：
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，若三個角
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
、
C
{\displaystyle C}
角平分線
t
a
{\displaystyle t_{a}}
、
t
b
{\displaystyle t_{b}}
、
t
c
{\displaystyle t_{c}}
，則：
三角形內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形四心，定義如下：
關於三角形四心，有這樣一首詩：
外心中點垂線伸，
垂心垂直畫三，
形心角連線中心。
垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，九點圓圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段中點。
以下旁心，合稱三角形五心：
設外接圓半徑
R
{\displaystyle R}
， 內切圓半徑
r
{\displaystyle r}
，則：
其中
△
{\displaystyle \triangle }
為三角形面積；
s
{\displaystyle s}
為三角形半周長，
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
三角形面積
A
{\displaystyle A}
是底邊
b
{\displaystyle b}
h
{\displaystyle h}
乘積一半，即：
右圖可知，兩個三角形相拼，可得一平行四邊形。
而該平行四邊形分割填補，能得到一個面積於
b
h
{\displaystyle bh}
長方形。
令其底邊是
b
{\displaystyle b}
，腰是
a
{\displaystyle a}
，積公式為
1
4
b
4
a
2
−
b
2
{\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}}
等腰三角形對應高，角平分線和中線重合。
延伸閱讀…
寫英語字母
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
和
C
{\displaystyle C}
為三角形頂點標號；寫英語字母
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
和
c
{\displaystyle c}
表示邊；
α
{\displaystyle \alpha }
、
β
{\displaystyle \beta }
和
γ
{\displaystyle \gamma }
角標號，或者
∠
A
B
C
{\displaystyle \angle ABC}
這樣頂點標號來表示。
角三角形是其中一角角三角形，其餘兩角於90°。
有一個角是直角（90°）三角形為直角三角形。
成直角兩條稱為「直角邊」（cathetus），直角所對是「斜邊」（hypotenuse）；或稱為「弦」，底部稱作「勾」（作「句」），另稱為「股」。
斜邊乘上斜邊上高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）
直角三角形各邊角度關係，可以三角表示。
三角形（稱正三角形），三相等三角形。
其三個內角相等，60°。
它是鋭角三角形一種。
設其是
a
{\displaystyle a}
，積公式為
a
2
3
4
{\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}
。
等腰三角形是三條邊中有兩條相等（或是其中兩隻內角相等）三角形。
等腰三角形中兩條相等稱為「腰」，而另一條稱為「底邊」，兩條腰交叉組成那個點稱為「頂點」，它們組成角被稱為「頂角」。
令其底邊是
b
{\displaystyle b}
，腰是
a
{\displaystyle a}
，積公式為
1
4
b
4
a
2
−
b
2
{\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}}
等腰三角形對應高，角平分線和中線重合。
延伸閱讀…
退化三角形是指面積為零三角形。
滿足下列條件之一三角形稱為退化三角形：三個內角度數(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三其中一條長度0；一條長度於另外兩條和。
有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是於它介乎於三角不等式之間，一些資料中否定了其中一條於其餘兩條和情況。
勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），譯作萊洛三角形或弧三角形，稱為劃粉形或曲邊三角形，是圓形以外，易懂勒洛多邊形，一個定曲線。
一個曲線圖放在兩條平行線中間，使這兩平行線，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它是這兩條平行線內，這兩條平行線。
這個定義十九世紀德國工程師弗朗茨·勒洛（英語：Franz Reuleaux）命名。
勾股定理，稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。
言，若直角三角形其中
c
{\displaystyle c}
斜邊，即
c
{\displaystyle c}
對角
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
，則
勾股定理逆定理成立，即若三角形滿足
設
R
{\displaystyle R}
為三角形外接圓半徑，則
勾股定理是本定理情況，即角
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }\,}
時，
cos
α
=
0
{\displaystyle \cos \alpha =0}
，於是
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
化簡為
a
2
=
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}
。
三角形具有穩定性，若二個三角形有以下邊角關係定後，它形狀、大小會改變，二個三角形即為全等三角形。
三角形判斷有以下幾種：
SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形，除非該角於於90°，此時可以保證。
[2]:34[3]
三角形中有著一些線段，是三角形研究對象。
以上線段，每個三角形有三條，且三線共點。
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，若三
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
c
{\displaystyle c\,}
中線
m
a
{\displaystyle m_{a}}
、
m
b
{\displaystyle m_{b}}
、
m
c
{\displaystyle m_{c}}
，則：
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，連接三個頂點
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
、
C
{\displaystyle C}
上高分記作
h
a
{\displaystyle h_{a}}
、
h
b
{\displaystyle h_{b}}
、
h
c
{\displaystyle h_{c}}
，則：
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，若三個角
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
、
C
{\displaystyle C}
角平分線
t
a
{\displaystyle t_{a}}
、
t
b
{\displaystyle t_{b}}
、
t
c
{\displaystyle t_{c}}
，則：
三角形內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形四心，定義如下：
關於三角形四心，有這樣一首詩：
外心中點垂線伸，
垂心垂直畫三，
形心角連線中心。
垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，九點圓圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段中點。
以下旁心，合稱三角形五心：
設外接圓半徑
R
{\displaystyle R}
， 內切圓半徑
r
{\displaystyle r}
，則：
其中
△
{\displaystyle \triangle }
為三角形面積；
s
{\displaystyle s}
為三角形半周長，
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
三角形面積
A
{\displaystyle A}
是底邊
b
{\displaystyle b}
h
{\displaystyle h}
乘積一半，即：
右圖可知，兩個三角形相拼，可得一平行四邊形。
而該平行四邊形分割填補，能得到一個面積於
b
h
{\displaystyle bh}
長方形。
因此三角形面積
設
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
為已知兩邊，
γ
{\displaystyle \gamma }
該兩邊夾角，則三角形面積是：
觀察右圖，正弦定義：
此式代入基本公式，可得：
β
{\displaystyle \beta }
、
γ
{\displaystyle \gamma }
為已知兩角，
a
{\displaystyle a}
該兩角夾邊，則三角形面積是：
代入
A
=
1
2
a
b
sin
γ
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
，得：
注意到
α
+
β
+
γ
=
180
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
，因此：
海龍公式，其表示形式為：
其中
s
{\displaystyle s}
於三角形半周長，即：