三角形，稱三邊形（英語： Triangle），是三條線段首尾，或不共線三點兩兩連接，組成一個閉合平面幾何圖形，是基本和形。
寫英語字母
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
和
C
{\displaystyle C}
為三角形頂點標號；寫英語字母
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
和
c
{\displaystyle c}
表示邊；
α
{\displaystyle \alpha }
、
β
{\displaystyle \beta }
和
γ
{\displaystyle \gamma }
角標號，或者
∠
A
B
C
{\displaystyle \angle ABC}
這樣頂點標號來表示。
角三角形是其中一角角三角形，其餘兩角於90°。
有一個角是直角（90°）三角形為直角三角形。
成直角兩條稱為「直角邊」（cathetus），直角所對是「斜邊」（hypotenuse）；或稱為「弦」，底部稱作「勾」（作「句」），另稱為「股」。
斜邊乘上斜邊上高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）
直角三角形各邊角度關係，可以三角表示。
三角形（稱正三角形），三相等三角形。
三角形具有穩定性，若二個三角形有以下邊角關係定後，它形狀、大小會改變，二個三角形即為全等三角形。
它是鋭角三角形一種。
設其是
a
{\displaystyle a}
，積公式為
a
2
3
4
{\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}
。
等腰三角形是三條邊中有兩條相等（或是其中兩隻內角相等）三角形。
等腰三角形中兩條相等稱為「腰」，而另一條稱為「底邊」，兩條腰交叉組成那個點稱為「頂點」，它們組成角被稱為「頂角」。
令其底邊是
b
{\displaystyle b}
，腰是
a
{\displaystyle a}
，積公式為
1
4
b
4
a
2
−
b
2
{\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}}
等腰三角形對應高，角平分線和中線重合。
退化三角形是指面積為零三角形。
滿足下列條件之一三角形稱為退化三角形：三個內角度數(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三其中一條長度0；一條長度於另外兩條和。
有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是於它介乎於三角不等式之間，一些資料中否定了其中一條於其餘兩條和情況。
勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），譯作萊洛三角形或弧三角形，稱為劃粉形或曲邊三角形，是圓形以外，易懂勒洛多邊形，一個定曲線。
一個曲線圖放在兩條平行線中間，使這兩平行線，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它是這兩條平行線內，這兩條平行線。
這個定義十九世紀德國工程師弗朗茨·勒洛（英語：Franz Reuleaux）命名。
勾股定理，稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。
言，若直角三角形其中
c
{\displaystyle c}
斜邊，即
c
{\displaystyle c}
對角
γ
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
，則
勾股定理逆定理成立，即若三角形滿足
設
R
{\displaystyle R}
為三角形外接圓半徑，則
勾股定理是本定理情況，即角
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }\,}
時，
cos
α
=
0
{\displaystyle \cos \alpha =0}
，於是
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
化簡為
a
2
=
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}
。
三角形具有穩定性，若二個三角形有以下邊角關係定後，它形狀、大小會改變，二個三角形即為全等三角形。
三角形判斷有以下幾種：
SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形，除非該角於於90°，此時可以保證。
[2]:34[3]
三角形中有著一些線段，是三角形研究對象。
以上線段，每個三角形有三條，且三線共點。
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，若三
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
c
{\displaystyle c\,}
中線
m
a
{\displaystyle m_{a}}
、
m
b
{\displaystyle m_{b}}
、
m
c
{\displaystyle m_{c}}
，則：
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，連接三個頂點
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
、
C
{\displaystyle C}
上高分記作
h
a
{\displaystyle h_{a}}
、
h
b
{\displaystyle h_{b}}
、
h
c
{\displaystyle h_{c}}
，則：
設
Δ
A
B
C
{\displaystyle \Delta ABC\,}
中，若三個角
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
、
C
{\displaystyle C}
角平分線
t
a
{\displaystyle t_{a}}
、
t
b
{\displaystyle t_{b}}
、
t
c
{\displaystyle t_{c}}
，則：
三角形內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形四心，定義如下：
關於三角形四心，有這樣一首詩：
外心中點垂線伸，
垂心垂直畫三，
形心角連線中心。
垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，九點圓圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段中點。
以下旁心，合稱三角形五心：
設外接圓半徑
R
{\displaystyle R}
， 內切圓半徑
r
{\displaystyle r}
，則：
其中
△
{\displaystyle \triangle }
為三角形面積；
s
{\displaystyle s}
為三角形半周長，
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
三角形面積
A
{\displaystyle A}
是底邊
b
{\displaystyle b}
h
{\displaystyle h}
乘積一半，即：
右圖可知，兩個三角形相拼，可得一平行四邊形。
而該平行四邊形分割填補，能得到一個面積於
b
h
{\displaystyle bh}
長方形。
因此三角形面積
設
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
為已知兩邊，
γ
{\displaystyle \gamma }
該兩邊夾角，則三角形面積是：
觀察右圖，正弦定義：
此式代入基本公式，可得：
β
{\displaystyle \beta }
、
γ
{\displaystyle \gamma }
為已知兩角，
a
{\displaystyle a}
該兩角夾邊，則三角形面積是：
代入
A
=
1
2
a
b
sin
γ
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
，得：
注意到
α
+
β
+
γ
=
180
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
，因此：
海龍公式，其表示形式為：
其中
s
{\displaystyle s}
於三角形半周長，即：
三角形 (triangle) 是邊數形。
邏輯上，三角形是基本平面圖形，可是四邊形才是人們生活經驗中熟悉圖形。
四邊形可以角線分割成兩個三角形；
反過來，每個三角形是某個平行四邊形角線分割一半，
所以它面積是二分底乘以。
三角形可以細分幾個種類，它們應用上程度，依序為：
直角三角形：Right-angled triangle 或 right triangle。
等腰三角形：Isosceles triangle，其中
兩腰英文是 legs，第三稱為底 base。
兩腰對角稱為底角，底角相等：Two angles opposite the legs (base angles) are equal.
兩腰夾角稱為頂角 (vertex angle 或 apex angle)；頂角可能鋭角、直角或角，但底角鋭角。
頂角頂點稱為 apex。
兩腰對角稱為底角，底角相等：Two angles opposite the legs (base angles) are equal.
兩腰夾角稱為頂角 (vertex angle 或 apex angle)；頂角可能鋭角、直角或角，但底角鋭角。
延伸閱讀…
三角形：Equilateral triangle，稱為正三角形 (regular triangle)。
有時候正三角形視為等腰三角形特例，有時候規定正三角形並非等腰三角形，這件事並無全球共識，要注意個別文件前提。
鋭角三角形：Acute-angled triangle（三角鋭角）。
角三角形：Obtuse-angled triangle（某一角角）。
斜三角形：Oblique triangle（非直角三角形，鋭角或角三角形）稱 non-right triangle。
規則三角形：Scalene triangle（稱為邊三角形，三，可推論三角）。
我們習慣 \(A\), \(B\), \(C\) 表示三角形頂點，
記作 \(\triangle ABC\)，讀作「三角形 ABC」(Triangle ABC)。
我們同時 \(A\), \(B\), \(C\) 表示內角，
例如頂點 \(A\) 內角記作 \(\angle A\)，
讀作「角 A」(angle A)。
我們 \(a\), \(b\), \(c\) 同時表示和邊長，
而 \(a\) 是角 \(A\) 對邊：Side \(a\) is the side opposite angle \(A\)。
沒有聲明時，三角形「角」是指內角 (interior angles)。
三角形內角和定理 (angle sum theorem for triangles)
斷言三個角加在一起於一個平角（俗稱 180 度）：
Sum of all the interior angles of a triangle is equal to a straight angle.
此定理可以當作歐氏幾何基本假設，稱為「三角形設準」(Triangle Postulate)。
三角形任一外角 (exterior angle) 是其相鄰內角補角
(the supplementary angle of the corresponding interior angle)，
於兩個內角和：
The exterior angle of a triangle is equal to the sum of the / two
remote / opposite interior angles.
因為空間中共線三點決定一平面，
所以空間中三角形落同一平面上。
[語音講解：triangle.mp3]
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三角形可以細分幾個種類，它們應用上程度，依序為：
直角三角形：Right-angled triangle 或 right triangle。
等腰三角形：Isosceles triangle，其中
兩腰英文是 legs，第三稱為底 base。
兩腰對角稱為底角，底角相等：Two angles opposite the legs (base angles) are equal.
兩腰夾角稱為頂角 (vertex angle 或 apex angle)；頂角可能鋭角、直角或角，但底角鋭角。
延伸閱讀…
頂角頂點稱為 apex。
底中線 (median to the base 或者説 median from the apex，即頂點底邊中點決定直線）是等腰三角形對稱軸 (axis of symmetry)；
此中線是頂角角平分線 (the angle bisector of the vertex angle)，
是底中垂線 (the perpendicular bisector of the base)。
三角形：Equilateral triangle，稱為正三角形 (regular triangle)。
有時候正三角形視為等腰三角形特例，有時候規定正三角形並非等腰三角形，這件事並無全球共識，要注意個別文件前提。
鋭角三角形：Acute-angled triangle（三角鋭角）。
角三角形：Obtuse-angled triangle（某一角角）。
斜三角形：Oblique triangle（非直角三角形，鋭角或角三角形）稱 non-right triangle。
規則三角形：Scalene triangle（稱為邊三角形，三，可推論三角）。
我們習慣 \(A\), \(B\), \(C\) 表示三角形頂點，
記作 \(\triangle ABC\)，讀作「三角形 ABC」(Triangle ABC)。
我們同時 \(A\), \(B\), \(C\) 表示內角，
例如頂點 \(A\) 內角記作 \(\angle A\)，
讀作「角 A」(angle A)。
我們 \(a\), \(b\), \(c\) 同時表示和邊長，
而 \(a\) 是角 \(A\) 對邊：Side \(a\) is the side opposite angle \(A\)。
沒有聲明時，三角形「角」是指內角 (interior angles)。
三角形內角和定理 (angle sum theorem for triangles)
斷言三個角加在一起於一個平角（俗稱 180 度）：
Sum of all the interior angles of a triangle is equal to a straight angle.
此定理可以當作歐氏幾何基本假設，稱為「三角形設準」(Triangle Postulate)。
三角形任一外角 (exterior angle) 是其相鄰內角補角
(the supplementary angle of the corresponding interior angle)，
於兩個內角和：
The exterior angle of a triangle is equal to the sum of the / two
remote / opposite interior angles.
因為空間中共線三點決定一平面，
所以空間中三角形落同一平面上。
[語音講解：triangle.mp3]
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我們習慣 \(A\), \(B\), \(C\) 表示三角形頂點，
記作 \(\triangle ABC\)，讀作「三角形 ABC」(Triangle ABC)。
我們同時 \(A\), \(B\), \(C\) 表示內角，
例如頂點 \(A\) 內角記作 \(\angle A\)，
讀作「角 A」(angle A)。
我們 \(a\), \(b\), \(c\) 同時表示和邊長，
而 \(a\) 是角 \(A\) 對邊：Side \(a\) is the side opposite angle \(A\)。
沒有聲明時，三角形「角」是指內角 (interior angles)。
三角形內角和定理 (angle sum theorem for triangles)
斷言三個角加在一起於一個平角（俗稱 180 度）：
Sum of all the interior angles of a triangle is equal to a straight angle.
此定理可以當作歐氏幾何基本假設，稱為「三角形設準」(Triangle Postulate)。
三角形任一外角 (exterior angle) 是其相鄰內角補角
(the supplementary angle of the corresponding interior angle)，
於兩個內角和：
The exterior angle of a triangle is equal to the sum of the / two
remote / opposite interior angles.
因為空間中共線三點決定一平面，
所以空間中三角形落同一平面上。
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