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四色定理- 維基百科，自由的百科全書

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最初的染色問題是用幾何學的概念描述的，嚴謹的版本則需要用到拓撲學的概念來定義。

設有一平面或其一部分，將其劃分為互不重疊的區域的集合。一個“地圖”為以下劃分方式[2]:44：

• 所謂有界區域，是指能夠用一個長和寬都有限的矩形覆蓋的區域。無界區域則是不能用這樣的矩形覆蓋的區域[2]:44。每個區域相當於通俗説法中的“國家”，而區域之間的邊界（“國家”之間的“國界線”）則定義為連續不自交的曲線，也稱為連續簡單曲線。
• 連續簡單曲線是指一個從[0, 1

  在一張定義於{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}的地圖中，我們有一組簡單曲線的集合，這些曲線由連續函數c_{i}定義，從[0, 1]映射到\mathbb {R} ^{2}。這組曲線的形成了一種邊界，是理解地圖本質的關鍵。

  地圖中的每一條曲線C_{i}都是由一個連續函數c_{i}所定義，這個函數將一個閉區間[0, 1]映射到\mathbb {R} ^{2}的坐標空間。因此，每一條曲線都可以看做是一種邊界，它們的集合共同定義了地圖的整體形狀和結構。

  這些邊界曲線的集合提供了地圖最本質的定義，它們決定了地圖的形狀和特徵。

  通過這樣的邊界定義，我們可以看到地圖的本質在於其簡單曲線的分佈和連接方式，這些曲線共同構成了地圖的形態。

  改寫後的文章

  在我們的世界中，有著無數的線條和曲線，它們交織在一起，構成了豐富多彩的圖案。但有一種特殊的規律，這種規律支配著某些特殊類型的線條和曲線，它們被稱之為“地圖”。在地圖上，每條連續的簡單曲線都被稱為“邊”，而邊的端點則被稱為“頂點”。這些邊和頂點定義了地圖的結構，它們將空間劃分為許多連通的開集，這些開集被稱為“國家”。每個國家都是一個極大的連通子集，它們由非中性點通過不包含中性點的弧線定義。這種結構的特性之一是，任何一點都可以通過一條不包含中性點的弧線與其他點連接，形成一個連通的區域。這樣，地圖上就存在一個或多個國家，其中至少有一個國家是無界的。這種地圖的設計不僅在平面幾何中非常重要，它們在地理、交通、通訊等領域也有著廣泛的應用。 四色定理與拓撲學的關係 在研究四色定理時，拓撲學提供了重要的理論框架。四色問題本質上是在問，是否可以用最少種類的顏色來填色，使得每個國家都有獨特的顏色，並且相鄰的國家有不同的顏色。這個問題可以通過研究地圖的拓撲結構來解決。 首先，要定義相鄰的概念。在四色問題中，我們通常要求每個國家與至少兩個其他國家有邊界相連。這樣的邊界不可折疊，並且不能有十字路口。 接下來，要理解染色問題。一個國家的染色方案是指將其映射到一個顏色集上的函數。四色定理表明，對於任何地圖，都可以找到一個四色染色方案，使得相鄰的國家有不同的顏色。 需要注意，四色問題中定義的國家是沒有飛地的。飛地是指一個國家的領土被另一個國家的領土完全包圍。在四色問題中，我們通常會忽略這種情況，因為它會使問題變得很複雜。 染色方案 相鄰條件 肯普，曾經在凱萊的指導下就讀於劍橋大學，因其在聯動裝置模型方面的工作而聞名。《自然》雜誌於1879年7月17日率先報道了“四色猜想得以證明”的消息。完整的證明隨後在當時成立不到兩年的《美國數學雜誌》上發表。這一決定的主要原因是該雜誌的創辦者詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特與凱萊之間的友好關係，因此肯普在雜誌主編的要求下，將這一重要論文發表在相對不太知名的期刊上。 延伸閲讀… 四色定理 你是那種顏色? 藍綠紅黃四種性格色彩, 輕鬆掌握生活中的 … 斯多利的貢獻 《美國數學雜誌》的顧問編輯威廉·愛德華·斯多利對四色猜想問題也有濃厚的興趣。他對肯普的證明進行了簡化，並在再版時的附錄中增加了對肯普未涉及的特殊情況的證明。1879年11月5日，在約翰·霍普金斯大學科學協會的一次會議上，這個最終版本的證明首次公諸於世。皮爾斯當時也在約翰·霍普金斯大學任教，他也出席了這次會議，並在那次會議和12月的另一次會議中提出了他使用邏輯方法對證明做出的改進。至此，數學界普遍認為四色猜想已經得到瞭解決。 泰特的再發現 1880年，物理學家彼得·古德里·泰特在《愛丁堡皇家學會會刊》上也發表了一個四色猜想的新證明，這個證明基本上是肯普工作的變形，並且沒有提供實質性的新證明。 肯普的證明基於對國家數目進行的歸納法。很容易證明當國家數量少於或等於4時，四色定理成立。肯普假設當國家數量不多於n時四色定理成立，他旨在證明 在探究四色定理的證明過程中，肯普引入了一種稱為“可約構形”的概念。當一個國家擁有少於或等於三個鄰國時，它就可以被“去掉”，將其與鄰國合併為一個新的地圖，這個地圖可以用四種顏色着色。由於原來的三個鄰國至多使用了三種顏色，因此可以在合併後的地圖上將“去掉”的國家重新“放回去”，並使用第四種顏色進行着色，這樣就證明瞭四色定理。 當A國有四個鄰國時，如果兩個鄰國同色，則可以將它們視為一個國家，從而減少地圖上的國家數目。如果四個鄰國的顏色各不相同，則可以應用“肯普鏈”方法來將其中一個鄰國的顏色更換為對面的顏色，從而將四個鄰國的顏色減少為三個。如果對面的顏色也是在鏈中的，則可以改變鏈中不同顏色國家的相鄰關係，使得對面的鄰國與A國分開，從而減少鄰國的數目。 當A國有五個鄰國時，肯普通過使用兩次肯普鏈的換色方式，將五種顏色減少為三種，從而證明瞭四色定理對五個鄰國的情況也適用。 四色猜想在短短兩年內被一位並非專業數學家的肯普解決，這一點讓許多數學家感到意外。這個突破表明，四色猜想可能並未涉及數學中深層的本質難點。 四色問題的進展與困局 對四色問題的研究漸漸消退，數學家們已然將其視為既定事實。劉易斯·卡羅爾將四色問題轉變為遊戲：一方設計地圖，另一方負責為其著色。1886年，英國克里夫頓學院校長將四色問題作為全校學生的挑戰題，要求答案不超過一頁文字、30行算式以及一頁圖示。 德國數學家菲利克斯·克萊因將此問題與1840年莫比烏斯提出的另一問題相混淆，認為四色問題是後者的直接推論。這一錯誤在1885年由幾何學家理查德·巴爾策重複提出，並導致21世紀仍然存在類似的傳言。實際上，莫比烏斯解決的是完全圖 K{\displaystyle K_{5}} 不可平面性的問題，與四色問題無直接關聯。 然而，在肯普的證明發表11年後，珀西·約翰·希伍德發表文章，指出肯普證明中存在錯誤。希伍德在文章中遺憾地表示，他無法修正這個錯誤，以得到四色問題的正確證明，因此他的工作更多是破壞性的。不過，儘管未能證得四色定理，希伍德仍在肯普的思路基礎上取得了進展，得出了較弱的五色定理。據希伍德所言，肯普的錯誤在於證明5鄰國是可約構形時的方法不總是成功，他提供了一個包含25個國家的地圖作為反例。 希伍德的工作並未受到應有的重視。數學界普遍認為這只是小小的錯誤，很快就能得到糾正。1894年創刊的《 四色定理的研究歷程 從歐洲的停滯到美國的進展 人物 貢獻 閔可夫斯基 提出四色問題未解決是因為缺乏一流的數學家 泰特 將四色問題轉化為圖染色問題 温尼克 提出可約性的雛形 維布倫 使用拓撲學觀念和有限域上的關聯矩陣作為研究工具 四色問題的研究從19世紀沿續至20世紀，經歷了從歐洲到美國的轉移。在美國，數學家們不懈地探索著這個問題，最終在1912年後取得了實質性的進展。其中，維布倫的工作將四色問題推向了新的高度，他運用了拓撲學和有限域的知識，為後來的解決方法奠定了基礎。 塔特對四色定理歷史的概述 肯普的初步證明與伯克霍夫的繼承 同年，普林斯頓的喬治·戴維·伯克霍夫開始研究四色定理，並提出可約環概念。1913年，伯克霍夫證明不超過12個國家的地圖可用四色染色。1922年，其學生菲利普·富蘭克林將結論擴展到不超過25個國家。由於伯克霍夫首次證明四色定理對不超過12個國家的地圖成立，此數量被稱為別克霍夫數。 伯克霍夫的證明與“定性方法” 伯克霍夫採用肯普的方法，即尋找不可避免的可約構形集。他提出將地圖分為環內部分A、環外部分B和環本身R，當R是4-環或5-環且A中國家不止一個，或者A+R是伯克霍夫菱形時，A+R是可約的構形。因此極小五色地圖不可能包含這些構形。 構形 描述 2鄰國 至少有兩個鄰國的國家。 3鄰國 至少有三個鄰國的國家。 4鄰國 至少有四個鄰國的國家。 5鄰國 至少有五個鄰國的國家。 伯克霍夫的證明理念：若極小五色地圖存在，則其必含可約構形，從而導致矛盾。 富蘭克林對極小五色地圖理論的貢獻 在極小五色地圖問題的研究中，富蘭克林做出了一項重要貢獻，他證明瞭在任意的極小五色地圖中，一定會出現某些特定的構形，這些構形可以被約簡掉。富蘭克林的方法是找到一系列的“可約構形”，這些構形可以從地圖中移除，而不會影響其五色染色性。通過這樣的方法，他能夠推導出所有25個國家以下的地圖的“不可避免的可約構形集”。基於這一發現，富蘭克林進而推導出一個更普遍的結論：任何極小的五色地圖至少包含26個國家。 儘管富蘭克林的方法為理解極小五色地圖問題提供了一種有用的框架，但是隨著地圖中包含的國家數量增加，找到所有不可避免的可約構形以及證明它們的可約性變得越來越困難。這是因為隨著地圖中環的大小增加，可能的染色方法數量會急劇上升。例如，對於一個6環，存在31種4染色方法；而對一個12環，則存在高達22,144種染色方法。這使得驗證大環構形的可約性成為一項極為複雜的工作。 別克霍夫數的逐漸提升 曆史上，別克霍夫數是指理論上最小的五色地圖的國家數。這個數字在研究過程中逐步被提高。1926年，C.N.Reynolds將別克霍夫數從25提高到27。1938年，富蘭克林將其推進到31。1941年，C.E.Winn進一步將之提高到35。直到1968年，別克霍夫數才被更新為40。這些數字的提升反映了研究人員在不斷完善和深入理解極小五色地圖的理論。 富蘭克林證明瞭在極小五色地圖中，一定會出現三個鄰接的五邊國，