文／檸檬 日常生活中，充滿許多「稱」，課本、藝術品、生活用品……是建築物，稱無所不在。
從起牀，對著鏡子刷牙洗臉開始，鏡子裡映出一張對稱臉。
有許多藝術家創作時，會稱性下手，從到生活中都藴含著許多稱性，到複雜表現形式有許多種。
掌握對稱奧妙，可以幫助我們理解圖形特性，還可以感受到自然界美。
具象稱 可見數學課本中對稱是線稱圖形，要判斷一個圖形是否線稱圖形，圖形是原圖形沿著直線摺，如果這條直線兩旁圖形能夠完全重合，可以稱線稱圖形，而這條直線稱為稱軸。
線稱圖形包含各種形、等腰三角形、圓形……。
如果對稱延伸到生活中，處處可見「稱」存在，從天上開始，觀察天上飛機可以發現，機身、機翼到機尾是對稱，這樣對稱才能使飛機飛行。
古希臘哲學家畢達哥拉斯説過：「美的線型和其他一切美的形體，有稱形式」。
當時，「稱」視為和諧美的定義。
x稱羣包含有所有可使所有V內v，x(v)=x(g(v))g。
稱利用直線空間兩邊或者四邊分為相等樣式，這之間無論是距離、質量、形狀是，充分表達出建築中力學傳遞，與物理學上支撐原理關係，這是建築數學、力學上交互應用表現。
這些人為物品、藝術或建築外，中有許多稱，例如天上飄落雪花冰晶、無數六角形排列而成蜂窩（六角形即為線稱圖形）、蘭花、蛾翅膀上假眼、蝴蝶翅膀、海裡海星、湖水中景色倒影……，呈現裡鬼斧神工稱。
抽象稱 探究起點看了這麼多例子，無論是人物品、建築或……，對稱存在具象物體中？古，稱性向來是主導人類文明法則，中古世紀歐洲藝術家強調建築結構上對稱；亞洲儒家思想強調中庸之道，不偏不倚處世哲學；佛家思想中，生與死是稱，悟迷是稱。
文化和宗教思想外，物理有稱唷，例如腳踏車前進應用到稱、能量守恆、動量守恆……可以找到對稱身影。
獲得2004年諾貝爾物理獎葛羅斯(D.Gross)説：「秘密於稱。
」此外，他認為：「尋找、基本定律時候，我們應該尋找對稱下手。
」物理學家加來道雄提到：「於物理學家來説，美麗意味著對稱和。
」稱不僅過去和現在存在，面未來問題時，「稱」是一個可以探究起點。
稱是幾何形狀、系統、方程以及其他實際上或概念上客體一種特徵－典型地，物件一半其鏡射。
數理上，如果稱一個幾何圖形或物體對稱話，即表示它是變形變量，而稱一詞包含此定義之中。
若兩個物體稱為稱時，即表示其中一者形狀幾何分割後，不變整體形狀情況下，可以將分割片段組為另一者，且反之亦然。
稱亦可人類其他動物生物體中發現（見如下生物內對稱）。
二維幾何中，有趣味幾種主要稱為於基本歐幾裏得空間等距（英語：Euclidean plane isometry）：平移、旋轉、鏡射及滑移鏡射（英語：Glide reflection）。
於一集合X內所有物件上，所考量所有對稱運算可以模擬成一個羣作用a : G × X → X，其G內g及X內x所映射出的值可以寫成g·x。
若存在某些g使得g·x = y，稱x及y對稱。
於任一個物件x，會有g·x = x運算g可以組成一個羣，其稱此物件稱羣，G子羣。
若x稱羣為當然羣，x稱為稱，不然即稱為對稱。
一普通例子為，設G一作用在一羣函數x: V → W上雙射g: V → V所組成的羣，其作用為(gx)(v)=x(g−1(v))(即封閉羣作用下之此一函數限制集合)。
因此，空間雙射所組成的羣會導致一其空間內「物件」上羣作用。
x稱羣包含有所有可使所有V內v，x(v)=x(g(v))g。
G全空間物件稱羣。
某些G子羣可能會任何一個物件稱羣。
例如，若一包含有於V內可使得g(v)=wv和w，會數函數x稱羣會包含此羣。
但無論如何，常數函數稱羣即G本身。
向量場一修正版本內，可以有(gx)(v)=h(g,x(g−1(v)))，其中h作用g內所做旋轉及反轉，旋轉任何一個於x內向量及偽向量，及反轉任一向量(但向量)，詳述請見物理中對稱。
x稱羣包含有所有可使所有V內v，x(v)=h(g,x(g(v)))g。
此一例子中，數函數稱羣可能會是G子羣：數向量繞其方向軸轉有旋轉稱，及只有其零時才有反轉稱。
於歐幾裏得空間內對稱觀念裡，G歐幾裏得羣（英語：Euclidean group）E(n)，其V歐幾裏得空間等距同構的羣。
一物件轉羣稱羣若G侷限direct isometries羣E+(n)之中。
(，請見下一子節)物件可以模擬成一個函數x，其值為如顏色、密度、化學組成性質選擇。
選擇，可以考量點集合對稱(x只是位置v布林函數)，或是另一個極端地，右手與左手所有構造對稱。
於一給定稱羣，其物件部份性質，但其地定義了整個物件。
其稱性，考慮有著性質點價，其價類空間本身上的羣作用軌道。
如此只需要每一個軌道上一點中x值來定義整個物件。
一組如此表示即形成了一個基本域。
基本域沒有稱；此意思下，即稱其稱性依憑稱上。
一具有某一想要對稱物件可以每一個軌道選定一單一函數值來產生。
一給定物件x開始，可以下列步產生：
如果想要稱羣之外沒有其他多餘對稱話，複製物件是稱。
如上面所述，某些等距同構的羣會是任何物件稱羣，除非向量場修正模型裡。
一個圓有無限多個稱軸，是基於同一個理由。
延伸閱讀…
其基本域只有一點，所以可能使其稱，因此任一「圖樣」平移下不變會鏡射下不變(此為「圖樣」)。
向量場版本裡，平移稱會導致鏡射稱：函數值為常數，但若其含有非零向量，其會有鏡射稱。
若亦存在鏡射稱，數函數值含有非零向量，但是有可能含有非零偽向量。
一個應三維例子一無限長圓柱體，其中有一垂直著軸電流；其磁場(一偽向量)圓柱體軸方向，常數但非零。
於向量(是電流密度)，其稱性有垂直著圓柱體平面稱及圓柱稱。
沒有經由圓柱軸鏡面圓柱稱只在向量版本對稱概念中有可能。
一個相似例子繞其軸旋轉圓柱體，其中磁場及電流密度角動量和速度替代。
稱羣若稱做其傳遞地作用一物件複現象上，即表示每一現象出現，存在稱運算可其中一個映射另一個上。
例如，一維裡，{…,1,2,5,6,9,10,13,14,…}稱羣傳遞地作用所有點上，而{…,1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15,…}傳遞地作用每一點上。
價地是，第一個集合只有一個共軛類，而第二個集合有兩個共軛類。
如上面所述，G(空間本身稱羣)可能異於歐幾裏得羣（英語：Euclidean group）－等距同構的羣。
鏡射稱，或稱鏡面稱，於鏡射對稱性。
二維裡有一對稱軸，而三維裡有一對稱平面。
一物件或像貌和其變換像不可，即稱此鏡面對稱。
二維物件稱軸是一條線，因此稱軸對稱或線稱。
任何落同一條和稱軸垂直線，且稱軸有同樣距離兩點，會是相等。
另一種思考方式為，若沿著軸整個二維物件折，其兩個一半將完全吻合一起：這兩個一半分是其另一個鏡像。
所以正方形有四個稱軸，因為有四種方式可以其邊角吻合地折起來。
一個圓有無限多個稱軸，是基於同一個理由。
延伸閱讀…
若字母T沿著一垂直軸鏡射，其樣子會是。
注意這有時稱做水平稱，有時稱做垂直稱。
故使用一個不模稜的説法，即「T有一垂直稱軸」。
具有稱性三角形為等腰三角形，具有稱性四方形鳶形和等腰梯形。
鏡射線或平面而言，其稱羣是構於Cs(見三維空間的點羣)，三種order two其中一種，因此代數地C2。
其基本域半平面或半空間。
某些文章中，鏡射稱是指旋轉對稱而鏡面稱則價於反演稱；當代物理中此類文章中，P-稱此一名詞使用兩種意義上(P指parity())。
於種類鏡射，存在著相對應種類鏡射稱。
例如：
旋轉稱是應於m維歐幾裏得空間內某些或所有旋轉對稱。
轉為一直接等距同構，即保持定向等距同構。
因此，旋轉對稱稱羣E+(m)子羣。
(見歐幾裏得羣（英語：Euclidean group）)
繞所有點所有旋轉對稱表示著應著所有平移平移稱，且其稱羣整個E+(m)。
這可以應用物件上，因為它讓整個空間變，但它可能可以應用物理定律上。
於繞一點旋轉對稱，可以點取原點。
這些轉形成了正交羣SO(m)，行列式1m×m正交矩陣組成的羣。
m=3時，其為轉羣。
此字另一個意思裡，一物件轉羣是E+(n)內稱羣；換句話説，是稱羣直接等距構羣交集。
於手徵物件而言，這和稱羣是一。
一物理定律若是SO(3)-不變，即表示它們會空間方向不同而有。
諾理，一物理系統旋轉稱是價於角動量守恆定律。
旋轉不變性。
三維裡，旋鏡射或稱旋轉直觀上是指繞一軸旋轉加上垂直於此軸平面鏡射。
應於旋鏡射稱羣可以區分成：
儘管兩個物件有著相似度而使其看起來是，但它們邏輯上是。
例如，若繞一等腰三角形中心旋轉120度，它會和旋轉前看起來是。
理論歐幾裏得空間內，如此旋轉和其原本形式是不可分。
但世界裡，任一物質組成等腰三角形之任一角有著分子位置上。
因此，現實物理世界上物件稱是相似，而非。
一個智力要能去區分如此看似相似困難度是可想而知。