時候，我喜歡 9 這個數字了，因為它藴含許多特性。
我想你看一個例子，請照著下列魔力數學指示：直覺告訴我你正在想數字是 9，？（如果不是話，你該回過頭驗算一下。
）是什麼讓 9 這個數字如此？我們會本章看到它一些特性，然後我們會考慮有另一個世界存在，那裡 12 和3 功能相等而且完全合理！ 如果你每個數字各自位數相加，每次會得到 9。
讓我們挑其中幾個來試試看：18 各個位數和是 1 + 8 = 9；27 是 2 + 7 = 9；144 是 1 + 4 + 4 = 9。
但是慢著，這裡有一個例外：99 位數和是 18，不過 18 本身是 9 倍數。
所以我們得到下面這個結論，這件事你可能小學學過了，而我們後會這一章中解釋：如果一個數字是 9 倍數，那麼它各個位數和是 9 倍數（反之亦然）。
舉例來説，123,456,789 位數和是 45（9 倍數），所以這個數 9 倍數。
反過來説，314,159 位數和是 23（非 9 倍數），所以這個數不是 9 倍數。
讓我們這個規則來瞭解前面那個魔術戲法，並仔細檢驗其中代數。
你想一個數字，我們稱N。
乘上三倍後你會得到 3N，下一步變成 3N + 6。
這個數字乘上三倍是 3（3N + 6）= 9N + 18， 9（N + 2）。
嘗試方法一和方法二之前，試著找出一個告示牌，上面標有這座山高度。
（編：這整數性質之一，任何一個 a 倍數乘上任意整數，還是 a 倍數）你計算這個數字各個位數和，你會得到一個 9 倍數（可能是 9 或 18 或 27 或 36），而且這些數目的各個位數和為 9。
有另一個我歡用魔術戲法，它是前面那個魔術變形。
找一個有計算機人，請他下列四位數中挑出一個：這些數字是 π（第八章）前四位數、e（第十章）前四位數、幾個費氏數（第五章），以及四位數最大值。
請他所選四位數乘上任何一個三位數，結果會是一個你可能會知道六位數或七位數。
接下來請他腦海中圈出答案中任一位數，但不要是 0（因為它像是個圓圈了！），然後要他任意順序所有沒圈起來數字唸出來，並且專心想著那個剩下數字。
你只要注意，可以地揭開答案了。
所以説秘密是什麼呢？請注意，能選擇這四個數字是 9 倍數。
既然是一個 9 倍數開始，那麼乘上一個整數後結果會是 9 倍數，因此它位數和會是 9 倍數。
隨著數字唸出，你只要它們統統相加，藏起那一個數字加上後能使總和變成 9 倍數。
舉例來説，設他唸出 5、0、2、2、6 和 1，這些數字總和是 16，那麼藏起來數字是 2，因為加上後能得到接近 9 倍數，18；如果唸出來數字是1、1、2、3、5、8，總和 20，那麼隱藏數字是 7，這樣才能得到 27；設你唸出的數字相加得到 18，他藏起來是哪個數字？於我們告訴過他不要圈選 0，所以缺少數字是9。
但為什麼一個 9 倍數其位數和是 9 倍數呢？讓我們來看看下面這個例子，當 3456 10 次方項表示時，看起來如下式運用邏輯，如果一個數字位數和是 9 倍數，此數本身是 9 倍數（反之亦然：任何一個 9 倍數其位數和是 9 倍數）。
編：任何一個整數，可以寫成 9 倍數＋各個位數數字和，上式第四行，因此只要各個位數數字和是 9 倍數，整個數字會是 9 倍數。
三角學能讓我們解出一些無法用古典幾何學處理幾何題目，舉例來説，考慮下面這個問題：一個量角器和一個袖珍計算機，測出附近某座山高度。
於這個問題，我們提出五種解法。
實際上，前三種解法點數學沒用上！爬上山頂，你計算機下丟（這可能需要上力氣），然後測出計算機撞到地面所需時間（或聆聽下方揹包客尖叫聲）。
如果總共花費了 t 秒，且空氣阻力和終端速度帶來影響，那麼標準物理學方程式會指出這座山 16t2 英尺。
這個方法缺點是空氣阻力和終端速度影響可能，所以你計算會變得，而且要找回這台計算機不太可能了。
除此之外，這個方法需要用到計時器可能你計算機上。
要説優點話，是這個方法並需要用到量角器。
找一位保育巡查員，然後你嶄新量角器他交換山峯高度這項情報。
如果你找不到任何保育巡查員，那看看附近有沒有一位男士，他一身古銅色肌膚表示他可能花了很多時間待户外，因而可能你這個問題答案。
這個方法優點是你有可能會交到朋友，而且需要犧牲你計算機。
此外，如果你這位深膚色男士回答心存懷疑，你是可以爬上這座山，然後採用第一個方法找出答案。
這個方法缺點是你可能會失去你量角器，冠上賄賂罪名。
嘗試方法一和方法二之前，試著找出一個告示牌，上面標有這座山高度。
這麼做處是你需要犧牲任何一項裝備。
☺，如果這三種方法不合你意，那麼我們訴諸於數學解法，本章主題。
「三角學」（trigonometry）字面上三角測量意思，這個詞字根源希臘文「trigon」和「metria」。
接下來我們分析一些經典三角形開始。
等腰直角三角形包含一個 90º 角，它另外兩個角，所以兩者是 45º（因為三角形內角和180º），這樣三角形我們稱 45−45−90 三角形。
如果兩個直角長度是1，那麼畢氏定理，斜邊是 。
請注意，任何等腰直角三角形邊長比例是 ，如下圖所示。
一個三角形中，每個邊長，而且每個角大小是 60º。
如果我們一個三角形分成全等兩半，如下圖所示，會得到兩個其內角是 30º、60º 和 90º 直角三角形。
如果這個三角形邊長 2，那麼內含兩個直角三角形斜邊長會是 2，而直角邊長 1。
畢氏定理，直角邊長會是。
因此，所有 30− 60− 90 三角形比例會是 （可以學學我， 1、2、 這個順序來記憶）。
是如果斜邊 1，則另外兩個邊長是 以及 。
研究數學時，有一點，那你可以證明一件事情千真萬確毋庸置疑，這讓數學和其他科學有所不同原因。
其他科學中，我們會因為一些法則符合現實世界情況而接受它們，但是如果證據出現了，這些法則是可以反駁或是修改。
然而數學中，某個理論證實，它不變。
舉例來説，歐幾裏德兩千年前證明出「質數有無限多個」，我們無法再説什麼或做什麼來反駁這個理論性。
科技來來去去，但是定理亙古不變。
正如一位數學家哈代所説數學家其像畫家或詩人，大家創造規律，但如果數學家創造出來規律永恆，那是因為背後是理念建構而成。
我來説，證明出一個數學定理讓學術地位最佳途徑。
數學不僅能證明某事正確，能用來證明某事無可能。
有時候，人們會説：「你證明存在事情存在。
」我想這説你無法證世界上並沒有紫色牛，因為可能哪天突然會出現一隻。
但是數學中，存在是可以證明。
邏輯存身條件，見得要形物呈現，但只要夠周全，其適用可以超越時空。
延伸閱讀…
你第一次（第二或第三次）遇上這些證明時可能會覺得有點嚇人，所以需要一點時間來適應。
不過掌握到了訣竅，你閲讀和寫出這些證時候會變得。
證明像一個講得很精采笑話或是故事，會讓你結局滿意。
你説説我第一次證明某事可能經驗。
我時候，喜歡各種遊戲和謎題。
有天，一位朋友拿了一個遊戲裡謎題來挑戰我，想我啦。
他出示一個八乘八空白棋盤，然後拿出了 32 張一乘二大小骨牌。
他問：「你能這32 張骨牌這個棋盤鋪滿嗎？」我説：「那，只要每一排放上四張骨牌就行了，像這樣。
」「，」他説，「現在假設我左上角和右下角正方形移開了，」他這兩個方格中各放一枚硬幣，這樣我不能使用了。
「現在你能夠 31 張骨牌鋪滿剩下 62 個方格嗎？」「可以，」我説。
但無論我怎麼嘗試，無法達成，我開始思考這是否可行。
「如果你認為這可行，你能夠證明這一點嗎？」我朋友這麼問。
但如果我沒有失敗可能試過一遍，怎麼能證明這是可能呢？他隨後提出建議：「看看棋盤上顏色。
」顏色？顏色這一切有什麼關聯？但是接下來我看到了。
既然兩個移走方格是淺色，那麼棋盤上剩下是三十二個深色方格和三十個淺色方格。
但因為每一張骨牌會涵蓋一個淺色方格和一個深色方格，所以三十一張骨牌可能鋪滿這樣棋盤。
這了！如果你喜歡上述後一個證明，那我相信你會欣賞下面這一個。
電玩遊戲「俄羅斯方塊」中有七種形狀，有時候我們稱 I、J、L、O、Z、T 和 S。
每一個形狀佔四個方格，所以我們會猜想，這七個形狀或許可以拼成一個四乘七長方形（拼湊過程中，我們可以翻轉或是旋轉這些形狀），但事實上這是一個可能任務。
你要怎麼證明這是可能呢？讓我們這個方形上色，使其含有十四個淺色方格和十四個深色方格，如下圖所示。
請注意， T 這個形狀以外，每一個形狀不論放在棋盤哪一個位置，涵蓋兩個淺色方格和兩個深色方格。
但是 T 涵蓋範圍是三個某一種顏色方格和一個另一種顏色方格。
於是，不論其他六個方塊放在哪裡，它們蓋住十二個淺色方格和十二個深色方格，剩下來 T 是兩個淺色方格和兩個深色方格，這個要求可能達成。
邏輯存身條件，見得要形物呈現，但只要夠周全，其適用可以超越時空。
邏輯存身條件，見得要形物呈現，但只要夠周全，其適用可以超越時空。
延伸閱讀…
國中時候我們學過代數 xy；高中學過三角函數 sin，cosine；大學因人而異我們積分、統計……。
這些很多人學過，陌生數學觀念，為何而教？做為一個科系本應數學合作密切，現在貌合神離 R 編，禮拜六一大早爬了起來、打開 Skype，等著跨太平洋亞瑟．班傑明教授（Arthur Benjamin）談話，因為我想知道：一個打破傳統觀唸教育者角度，我們（台灣、美國、或者全世界）數學教育能夠有什麼。
事實證明，數學，或是夢想數學摧毀，不只是在台灣出現問題。
數學美制式練習，而是千變萬化計算方法班傑明教授：老天～我覺得我好像喜歡上數學了。
我父母發現我喜歡數字謎題之類遊戲（你們有多少人會這麼説呢？），然後這成為我人生，但我覺得我有多特別。
而喜歡上數學這件事，我覺得擁有一個老師和態度。
數學是一門學問，絕大部分問題會有一個答案，對某些人而言這和他胃口，但另一些人而言這痛苦。
數學練習需要一個，讓學生們熟悉這些技巧，會多到讓他們感到厭煩、進而享受。
我覺得這是全世界遭遇到問題，讓數學具有挑戰性和趣味、但不要過於重複和理解，後流於練習。
威：在台灣我們習慣讓學生每天練習數學，有時候補習到晚上。
（班傑明教授在台北美國學校擔任過 1 個月研究教職人員（scholar in residence），所以我猜可能台灣補教文化時有所聞。
）班傑明教授：我知道有一些數學能力測驗讓家長和學生趨之若鶩，但我個人認為那學習數學並。
你學會了計算，但你是看不到數學，到後你會喜歡這門學問嗎？我喜歡數學一點，是即使知道只有一個答案，你有很多方法可以得出它，並各種方式解決一個問題。
我而言這樣殊途歸、後找到同一個答案具有成就感，到今天我覺得這是一件事。
計算機搶工作，數學超乎你想像！班傑明教授：我腦海中有兩件事，一是我們每天還是做運算，所以地做出數學估計是有用一件事。
二是機率和統計。
“9”是810之間數，於9是個位數字中一個，它中國認為是一個陽虛數、極數，表示多，無數意思，如：九天/九重霄/九重天(形容天)、九盤(形容彎曲道路)、九幽(形容地方)。
另外，九漢字“”同音，因此九當成是代表數字。
我國，人們”9″看成是自己心目中”天數”和富有色彩數字， 是因為”9″ 這個數字象徵意義，我國可以説歷時，涉及面，多個方面中有體現。
古代，數字9即為龍，多用九這一數字來附會帝王，與帝王有關事物多九有關，帝王之位稱“九五”，帝王稱“九五之尊”。
皇帝作為九五之尊，離不開“九”，他穿着九龍袍，住處太和殿、中和殿、保和殿高度是九丈九尺，門上門釘是橫九排、豎九排，一共九九八十一顆，這些是象徵。
，天壇、故宮“九”崇拜可能有着層意義。
“9”中國古代建築設計中多有體現，例如，北京城有九門，天安門城樓面九間，門上飾有九路釘（即每扇門門釘縱橫各九排）,北京恭王府是和珅府邸，裏面走廊、窗欞處裝飾是蝙蝠，説總共有九千九百九十九，蝙蝠諧音“福”，取福運長意。
如一“福”，是“萬福”，而那一“福”，藏假山裏面康熙御筆“福”字。
而民間，市民對數字“9”愛，這表現凡事“九”作計量單位，“數九”便是一例，南朝梁代《荊初歲時記》記載：“俗用冬至日數及九九八十一日，歲寒。
”此後，“九九歌”開始民間流傳。
《經》中，1到10分為奇數和偶數，中國古代陰陽學説，“9”是一個代表“陽”數字，《經》稱卦陽爻“九”。
於9個位數字中是一個，所以認為是陽虛數，用來表示無數意思。
而數字“9”有作為易每一卦有數字，易經中每一爻是9或者6來表示，所以會看到，初九，九二，六三，六四，上九這樣字眼，九和六這兩個數字可以説是奧秘，因為以來有多種解釋。
我們知道，數字是有陰陽，來説，數字6是陰，數字7是少陽，數字8是陰，而數字9是老陽。
陰少陽是不變，老陰和老陰有變化意味裏頭。
經是一本講究變化書，每一個卦每一個爻，含有變化，所以代表數字6和代表老陽數字9來表示，是，9和6，不僅區分了陰陽，還包含了變化意思，這是陰陽兩個字體現不了。
數字9頭部是一個圓圈，然後一條直線畫下來，寫法和數字 6 相反。
如果説數字6代表是家庭、小愛、女性力量，那麼數字9代表愛、 人道主義以及陽剛力量。
擁有靈數9人心胸，天性熱情，具有奉獻精神； 他們喜歡幫助別人，喜歡改造別人，不過因此讓自己陷入 麻煩；他們知識廣博，有靈性，願意直面困難，接受挑戰；他們能力，學 東西特，直覺；他們活力，表達誇張，是一個理想主 義者。
他們揹負了眾多負擔（基本上是家庭方面），會所能取得成功。