蒙提霍爾難題
背景
在博弈論中，源自著名電視節目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍爾難題，是一個著名的數學問題。問題情境是，參賽者會面對三扇關閉的門，一扇後面藏著一部汽車，另外兩扇後面藏著山羊。參賽者隨機選擇了一扇門，表示這扇門有車的機率為三分之一；主持人隨後打開另一扇門，發現藏著一隻山羊，並詢問參賽者是否願意換另一扇門。
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特的解答
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特提出，參賽者應該選擇換另一扇門，因為換門後贏得汽車的機率會提升至三分之二。
邏輯推導
初始狀況：
- 三扇門，一扇有車（機率 1/3）、兩扇有山羊（機率 2/3）
- 參賽者隨機選擇一扇門（機率 1/3）
主持人的選擇：
- 主持人打開另外兩扇門中的一扇，露出山羊（機率 2/3）
- 剩餘一扇門未打開，其機率仍為 1/3
參賽者是否換門？
換門：
- 參賽者最初選擇有車的門（機率 1/3）
- 主持人打開有山羊的門（機率 2/3）
- 換門後，剩下另一扇未打開的門，其機率先為 1/3，現在升高至 2/3
不換門：
- 參賽者最初選擇有山羊的門（機率 2/3）
- 主持人打開另外一扇有山羊的門（機率 1/3）
- 參賽者維持原來的選擇，但汽車機率先降為 0
結論：
透過換門，參賽者贏得汽車的機率提升至三分之二；而維持原來的選擇，則降低至零。這表明，即使直覺上難以接受，但換門是一個明智的策略。
其他變體
- 三囚犯問題：三個囚犯中，兩人在不同的牢房，一人在第三個牢房。典獄長告訴兩名囚犯，其中一位的牢房中有一塊麵包，詢問他們是否想換牢房。兩名囚犯不知道第三個牢房也有麵包，如果換牢房，他們獲得麵包的機率將提升至三分之二。
- 更簡潔的解答：
- 最初選擇山羊的機率為三分之二，換門後選擇山羊的機率為最初選擇汽車的機率，即三分之一。
- 最初選擇汽車的機率為三分之一，換門後選擇汽車的機率為最初選擇山羊的機率，即三分之二。
- 汽車永遠在最初選擇的山羊門之外，換門後仍然有三分之二的機率可以找到汽車。
三羊問題
三羊問題是數學中一個著名的組合學問題，它問道：有12隻羊要過一條只能一次過3隻羊的橋，而且天黑前必須過完。這些羊中包括4隻母羊、4隻小羊和4隻公羊。母羊和小羊過橋需要1分鐘，但公羊需要10分鐘。在什麼順序下，所有羊都可以安全過橋，並且在日落前完成？
以下是一個可能的解法：
| 順序 | 過橋的羊 | 耗時 |
|---|---|---|
| 1 | 1隻母羊 + 1隻小羊 + 1隻公羊 | 11分鐘 |
| 2 | 1隻公羊 | 10分鐘 |
| 3 | 1隻母羊 + 1隻小羊 | 1分鐘 |
| 4 | 1隻母羊 + 1隻小羊 + 1隻公羊 | 11分鐘 |
| 5 | 1隻公羊 | 10分鐘 |
| 6 | 1隻母羊 + 1隻小羊 + 1隻公羊 | 11分鐘 |
| 7 | 1隻公羊 | 10分鐘 |
| 8 | 1隻母羊 + 1隻小羊 + 1隻公羊 | 11分鐘 |
| 9 | 2隻母羊 | 2分鐘 |
| 10 | 2隻公羊 | 20分鐘 |
| 11 | 1隻母羊 + 2隻小羊 | 1分鐘 |
| 12 | 3隻公羊 | 30分鐘 |
總耗時： 106分鐘
這個解法總共耗時106分鐘，在日落前完成了。它是一個針對三羊問題的有效解法，符合問題中所有的條件。
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三門問題