黎曼積分的重新定義
已知一個封閉區間[a，b]上定義的實值函數f，如果對於任何ϵ > 0，都存在一個取樣分割{x<sub>0</sub>，...，x<sub>n</sub>}、{t<sub>0</sub>，...，t<sub>n-1</sub>}，只要它的子區間長度最大值λ ≤ δ，就有：
|S - ∑<sub>i=0<sup>n-1</sup></sub>f(t<sub>i</sub>)(x<sub>i+1</sub> - x<sub>i</sub>)| < ϵ
則稱函數f在封閉區間[a，b]上黎曼可積，並定義其黎曼積分為：
S = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx
此定義具有可操作性，因為可以找到一個取樣分割，使得函數f的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差不超過ϵ/2，從而保證黎曼和與黎曼積分至多相差ϵ。
另一個黎曼積分的定義如下：如果對於任何ϵ > 0，都存在一個取樣分割{x<sub>0</sub>，...，x<sub>n</sub>}、{t<sub>0</sub>，...，t<sub>n-1</sub>}，使得對於任何比它「更細」的分割{y<sub>0</sub>，...，y<sub>m</sub>}、{s<sub>0</sub>，...，s<sub>m-1</sub>}，都有：
|S - ∑<sub>i=0<sup>m-1</sup></sub>f(s<sub>i</sub>)(y<sub>i+1</sub> - y<sub>i</sub>)| < ϵ
這兩個定義是等價的，如果一個函數滿足其中一個定義，則它也滿足另一個定義。
由於函數f的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間[a，b]後，將一個黎曼可積的函數設定到其黎曼積分的映射I: f → ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。無論a、b、c之間的大小關係如何，以上關係式都成立。
上和與下和：求積分的兩個基本方法
在微積分中，求取函數的積分是基本運算之一。對於區間中的函數，有兩種基本的方法可以求取它的積分，分別稱為上和與下和。
上和
上和是將區間細分為子區間，並在每個子區間上取函數的最大值，再將這些最大值乘以子區間的寬度，並將所得結果相加。形式化地，對於函數 f(x) 在區間 [a, b] 上的上和為：
S(n) = ∑[f(xᵢ)]Δx
其中 n 是子區間的個數，Δx = (b – a) / n 是子區間的寬度，xᵢ 是第 i 個子區間 [xᵢ₋₁, xᵢ] 上的右端點。
下和
下和與上和類似，但不同之處在於它是取函數的最小值而不是最大值。形式化地，對於函數 f(x) 在區間 [a, b] 上的下和為：
s(n) = ∑[f(xᵢ₋₁)]Δx
其中 n、Δx 和 xᵢ 的定義同上和。
比較上和與下和
上和與下和是函數積分的近似值，它們與函數的實際積分之間的誤差取決於子區間的數量。一般來説：
- 上和總是比函數的實際積分大，因為它取的是子區間上的最大值。
- 下和總是比函數的實際積分小，因為它取的是子區間上的最小值。
- 隨著子區間數量 n 的增加，上和和下和都將越來越接近函數的實際積分。
上和與下和的應用
上和與下和在微積分中具有廣泛的應用，包括：
- 計算函數的近似面積
- 求取曲線的長度
- 計算體積和表面積
總結
上和與下和是求取函數積分的兩個基本方法，它們通過將區間細分為子區間，並在每個子區間上取函數的極值，得到函數積分的近似值。上和總是比函數的實際積分大，而下和總是比函數的實際積分小。隨著子區間數量 n 的增加，上和和下和都將越來越接近函數的實際積分。它們在微積分中具有廣泛的應用，包括計算函數的近似面積、曲線長度、體積和表面積等。
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黎曼積分- 維基百科，自由的百科全書
積分
比較表格
| 特性 | 上和 | 下和 |
|---|---|---|
| 定義 | 取子區間上的最大值 | 取子區間上的最小值 |
| 與實際積分的關係 | 總是大於實際積分 | 總是小於實際積分 |
| 隨著 n 的增加 | 逐漸接近實際積分 | 逐漸接近實際積分 |