在數學中，點積（德語：Punktprodukt；英語：Dot Product）又稱數量積或標量積（德語：Skalarprodukt；英語：Scalar Product），是一種接受兩串等長的數字序列（通常是坐標向量）、返回單一數字的代數運算。在歐幾裏得幾何裏，兩條笛卡爾坐標向量的點積常稱為內積（德語：inneres Produkt；英語：Inner Product）。
點積是內積的一種特殊形式：內積是點積的抽象，內積是一種雙線性函數，點積是歐幾裏得空間（內積空間）的度量。從代數角度看，先求兩數字序列中每組對應元素的積，再求所有積之和，結果即為點積。從幾何角度看，點積則是兩向量的長度與它
內積的總和的數量。
在數學中，內機（德語：Punktprodukt；英語：Dot Product）又稱數量積或標量積（德語：Skalarprodukt；英語：Scalar Product），是一種接受兩串等長的數字序列（通常是坐標向量）、返回單一數字的代數運算。在歐幾裏得幾何裏，兩條笛卡爾坐標向量的內積常稱為內積（德語：inneres Produkt；英語：Inner Product）。
點積是內積的一種特殊形式：內積是點積的抽象，內積是一種雙線性函數，內積是歐幾裏得空間（內積空間）的度量。從代數角度看，先求兩數字序列中每組對應元素的積，再求所有積之和，結果即為點積。從幾何角度看，點積則是兩向量的長度與它內積的總和的數量。
向量點積
在數學中，點積（德語：Punktprodukt；英語：Dot Product）又稱數量積或標量積（德語：Skalarprodukt；英語：Scalar Product），是一種接受兩串等長的數字序列（通常是坐標向量）、返回單一數字的代數運算。
從代數角度看，先求兩數字序列中每組對應元素的積，再求所有積之和，結果即為點積。從幾何角度看，點積則是兩向量的長度與它們夾角餘弦的積。在笛卡爾坐標系中，這兩種定義是等價的。
- 向量點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。在歐氏空間中引入笛卡爾坐標系後，向量間的點積既可以通過向量坐標的代數運算得出，也可以使用兩向量的長度和角度的幾何概念來求解。
向量點積的代數定義
給定兩向量 a 和 b ，它們的點積可以被定義為：
| a · b = Σ (ai·bj) |
這裡ai是向量 a 的第i個元素，bj是向量 b 的第i個元素，n是向量空間的維數。
向量點積的幾何定義
從幾何角度來看，向量 a 和 b 的點積等於向量 a 在向量 b 方向的投影長度乘以向量 b 的長度，或者説是兩向量長度的乘積乘以它們夾角餘弦的角度。
這兩種定義在笛卡爾坐標系中是等價的，因為向量在笛卡爾座標系中的投影大小可以直接通過其坐標的乘積來計算。
點積的名稱源自於表示點乘運算的點號（ a · b ），讀作 a 點 b 。標量積的叫法則是強調其運算結果為標量而非向量。向量的另一種乘法是叉乘（ a × b ），其結果為向量，稱為叉積或向量積。
內機 (Internal Machine) 是指在電腦或其他系統中運行的應用程式或程式碼，以提供特定功能或處理特定任務。這些內部機制通常被用於保護系統的安全性，確保正確的運行並提高效能。
內機在現代技術中扮演著重要的角色。舉例來説，作業系統是一個具有多個內機的系統。其中一個內機負責管理記憶體資源，確保應用程式的運行期間充分利用系統的記憶體。另一個內機則負責處理輸入和輸出，將使用者的操作轉換為系統能夠理解和處理的指令。
內機的設計通常需要考慮多個因素，包括安全性、可靠性和效能。設計優秀的內機能夠確保系統的安全，防止未經授權的存取和攻擊。同時，它們也需要確保在處理大量資料時能夠快速、準確地執行任務。
內機的開發過程通常需要專業知識和經驗豐富的工程師。他們需要詳細瞭解系統的架構和需求，並根據這些需求來設計和實現內機。在開發過程中，測試和調試也是非常重要的。只有經過充分的測試和調試，才能確保內機正確地執行並符合預期的功能。
隨著技術的不斷發展，內機的設計和實現也在不斷演進。新的演算法和技術被引入，以改進內機的效能和功能。例如，機器學習和人工智慧技術的應用，使得內機能夠更好地理解和處理各種複雜的任務。
總結來説，內機是現代系統中不可或缺的一部分。它們負責著保護系統的安全、提供特定功能和處理特定任務。內機的設計和實現需要專業知識和經驗，並且需要不斷地演進和改進。隨著技術的發展，我們可以期待內機在未來的應用中發揮更大的作用。
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冷氣內機
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